Kutu grafiği

Bu derste istatistiğin en özetleyici gösterim araçlarından biri olan kutu grafiğini (kutu-bıyık grafiği) baştan sona işliyoruz: beş sayılı özet, çeyreklerin bulunması, aykırı değerlerin belirlenmesi ve grafiğin adım adım çizilmesi. Verilerin gösterimi ünitesindeki diğer dersler için İstatistik dersleri sayfamıza göz atabilirsin.

Kutu Grafiği Nedir?

Kutu grafiği, bir veri kümesini beş sayılı özet üzerinden gösteren grafiktir: en küçük değer, birinci çeyrek (Q1), medyan (Q2), üçüncü çeyrek (Q3) ve en büyük değer. Grafiğin ortasındaki dikdörtgene kutu, iki yanına uzanan çizgilere ise bıyık denir; bu yüzden kutu-bıyık grafiği adıyla da anılır. En büyük avantajı, veriyi tek tek incelemeye gerek kalmadan merkezi, yayılımı ve dağılımın şekli hakkında tek bakışta fikir vermesidir.

Beş Sayılı Özet ve Çeyrekler

Kutu grafiği çizebilmek için önce veriyi tanımlayan beş kritik değeri bulmalıyız:

• En küçük değer (Min): Verideki en küçük gözlem.
• Birinci çeyrek (Q1): Sıralı verinin alt yarısının medyanı; verinin ilk %25'ini üstünden ayırır.
• Medyan (Q2): Sıralı verinin tam ortasındaki değer; veriyi iki eşit yarıya böler. Ayrıntı için Medyan dersimize bakabilirsin.
• Üçüncü çeyrek (Q3): Sıralı verinin üst yarısının medyanı.
• En büyük değer (Maks): Verideki en büyük gözlem.

Çeyrekleri bulmak için veri önce küçükten büyüğe sıralanır. Medyan bulunduktan sonra veri ikiye bölünür; Q1 alt yarının, Q3 üst yarının medyanıdır. Tek sayıda veride medyan iki yarıya dahil edilmez; çift sayıda veride ise iki yarı zaten doğal biçimde oluşur ve medyan iki orta değerin ortalamasıdır. Merkez ölçüleri arasındaki farkları merak ediyorsan Aritmetik ortalama dersimize de göz at.

Çeyrekler Arası Açıklık ve Aykırı Değerler

Verinin orta %50'lik bölümünün yayılımını gösteren Q3 - Q1 farkına çeyrekler arası açıklık (IQR) denir. Kutu grafiğinde kutunun genişliği tam olarak bu değeri temsil eder: kutu ne kadar darsa, verinin ortasındaki yığışım o kadar belirgindir. IQR, aykırı değerleri belirlemede de kullanılır:

• Alt sınır = Q1 - 1,5 × IQR
• Üst sınır = Q3 + 1,5 × IQR

Bu sınırların dışında kalan gözlemler aykırı değer sayılır ve grafikte tekil nokta (genellikle yıldız veya daire) ile işaretlenir. Örneğin IQR = 3 ise alt sınır Q1'in 4,5 birim altı, üst sınır Q3'ün 4,5 birim üstüdür; bu bölgeye düşen bir değer grafiğin dışında ayrıca gösterilir. Aykırı değer, bir yazım hatasını da gerçekten sıra dışı bir gözlemi de işaret edebilir; bu yüzden görülür görülmez silinmez, önce açıklanmaya çalışılır.

Örnek: Kutu Grafiği Adım Adım Nasıl Çizilir?

Bir sınıftaki 11 öğrencinin matematik sınav puanı şöyle olsun: 7, 8, 5, 9, 6, 10, 7, 5, 8, 6, 9. Adım adım ilerleyelim:

1. Veriyi sırala: 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10
2. Medyanı bul: On bir değer var; ortadaki, yani 6. değer 7'dir.
3. Q1'i bul: Medyanın solundaki 5, 5, 6, 6, 7 değerlerinin medyanı 6'dır.
4. Q3'ü bul: Medyanın sağındaki 8, 8, 9, 9, 10 değerlerinin medyanı 9'dur.
5. IQR'ı hesapla: Q3 - Q1 = 9 - 6 = 3.
6. Aykırı değer kontrolü yap: Alt sınır 6 - 4,5 = 1,5; üst sınır 9 + 4,5 = 13,5. Tüm puanlar bu aralığın içinde olduğundan aykırı değer yoktur.
7. Grafiği çiz: Sayı doğrusu üzerinde Min (5) ile Maks (10) uçlarına bıyıklar, 6 ile 9 arasına kutu çizilir ve kutunun tam ortasına medyan (7) çizgisi konur.

Puanların yarısının 6 ile 9 arasında toplandığı ve merkezin 7 olduğu tek bakışta anlaşılır; kutu grafiği bu özet bilgiyi uzun bir sayı listesinden çok daha çabuk aktarır.

Kutu Grafiği Nasıl Okunur ve Yorumlanır?

Bir kutu grafiğini yorumlarken dört temel unsura bakılır:

• Medyan çizgisinin konumu: Çizgi kutunun tam ortasındaysa dağılım simetriye yakındır; Q1'e yakınsa üst tarafta yayılma artar ve dağılım sağa çarpık olur, Q3'e yakınsa sola çarpık olur.
• Kutunun genişliği (IQR): Orta %50'lik kesimin yayılımını gösterir. İki sınıfın sınav sonuçlarını karşılaştırırken kutusu daha dar olan sınıf daha tutarlı sonuçlar üretmiş demektir.
• Bıyıkların uzunluğu: Uç değerlerin yayılımı hakkında fikir verir; tek yönde uzayan uzun bir bıyık, o yönde aşırı değerler bulunduğunu düşündürür.
• Aykırı değer noktaları: Bıyıkların dışında duran noktalar hem veri girişi hatasını hem de gerçekten sıra dışı bir gözlemi işaret edebilir.

Kutu grafiğinin en güçlü olduğu alan, birden fazla grubu yan yana karşılaştırmaktır: üç farklı sınıfın puanları aynı eksen üzerinde üç kutuyla çizildiğinde merkez (medyan), yayılım (kutu genişliği) ve uç değerler aynı anda karşılaştırılabilir. Sürekli verinin sınıflara ayrılarak gösterildiği Histogram dersi ile iki değişken arasındaki ilişkiyi noktalarla gösteren Dağılım grafiği dersi bu konunun doğal devamıdır; kategorik veriler içinse Sütun grafik daha uygundur. Kutu grafiği ise sayısal verinin özetini anlatır.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

Kutu grafiği çalışırken öğrencilerin en çok düştüğü noktalar şunlardır:

• Veriyi sıralamadan çeyrek aramak: Medyan ve çeyrekler yalnızca sıralı veride anlamlıdır; ham listeden Q1 aramak en sık hatadır.
• Medyanı ortalama sanmak: Kutunun içindeki çizgi medyanı gösterir; aritmetik ortalama ile Mod gibi diğer merkez ölçüleri kutu grafiğinden doğrudan okunamaz.
• IQR ile tüm aralığı karıştırmak: IQR yalnızca orta %50'yi kapsar; verinin bütün yayılımı için bıyık uçlarındaki en küçük ve en büyük değerlere bakılır.
• Kutu genişliğini frekans sanmak: Sütun grafikte sütunun yüksekliği frekansı gösterir; kutu grafiğinde kutunun genişliği frekans değil, yayılımdır.
• Aykırı değeri hemen silmek: Aykırı değer önce incelenir; yanlış veri mi yoksa gerçek bir durum mu olduğu ayrıştırılır.
• Bıyık ucunu aykırı değer sanmak: Bıyıklar, sınır değerlerin içinde kalan en uç gözlemleri gösterir; aykırı değerler ise bıyığın dışında ayrı bir nokta olarak çizilir.