Aritmetik ortalama

İstatistikte bir veri grubunu tek sayıyla özetlemenin en yaygın yolu aritmetik ortalamadır: tüm değerleri toplayıp veri sayısına bölmek. Bu derste aritmetik ortalamayı sıfırdan, bol örneklerle öğrenecek; özelliklerini, güçlü ve zayıf yönlerini ve hesaplamada yapılan klasik hataları inceleyeceğiz. Merkezi eğilim ölçüleri serisinin tamamı için İstatistik dersleri sayfasına göz atabilirsin.

Aritmetik Ortalama Nedir?

Aritmetik ortalama, bir veri kümesindeki tüm değerlerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle elde edilen merkezi eğilim ölçüsüdür. Günlük dilde "ortalama" dediğimizde kastettiğimiz budur: sınıf ortalaması, aylık ortalama harcama, maç başına ortalama gol gibi. Amacı, birbirinden farklı sayılardan oluşan veri kümesini tek bir temsilci sayıyla özetlemektir.

Aritmetik ortalamayı güçlü kılan nokta, veri kümesindeki her değeri hesaba katmasıdır; tek bir değerin değişmesi ortalamayı doğrudan etkiler. Bu özellik hem avantaj hem de dezavantajdır: hiçbir veriyi dışarıda bırakmaz, ama uçtaki aykırı değerlerden de kolayca etkilenir. Bu durumu aşağıda bir örnekle göreceğiz.

Aritmetik Ortalama Nasıl Hesaplanır?

Formül kısa ve nettir:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n

Burada x̄ ortalamayı, x₁, x₂, …, xₙ veri değerlerini, n ise veri sayısını gösterir. Uygulaması iki adımdır:

1. Tüm değerleri topla.
2. Bulduğun toplamı veri sayısına böl.

Örnek: Sınav notları

Bir öğrencinin beş matematik sınavından aldığı notlar 70, 80, 90, 60 ve 100 olsun.

• Toplam: 70 + 80 + 90 + 60 + 100 = 400
• Veri sayısı: 5
• Aritmetik ortalama: 400 ÷ 5 = 80

Örnek: Günlük telefon kullanımı

Bir öğrencinin hafta içi beş günde telefonda geçirdiği süreler 3, 5, 4, 6 ve 2 saat olsun. Toplam 3 + 5 + 4 + 6 + 2 = 20 saat, veri sayısı 5 olduğundan günlük ortalama 20 ÷ 5 = 4 saat olur.

Sık (Frekans) Verilerinde Aritmetik Ortalama

Bazı değerler birden fazla tekrar ediyorsa her değeri teker teker toplamak yerine, her değeri kaç kez göründüğüyle (frekansıyla) çarpıp toplamak daha pratiktir. Sonrasında toplamı yine toplam frekansa böleriz.

Bir sınıftaki 10 öğrencinin notları şöyle dağılsın: 60 alan 2 öğrenci, 70 alan 3 öğrenci, 80 alan 4 öğrenci, 90 alan 1 öğrenci.

• Toplam puan: 60×2 + 70×3 + 80×4 + 90×1 = 120 + 210 + 320 + 90 = 740
• Öğrenci sayısı: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
• Aritmetik ortalama: 740 ÷ 10 = 74

Dikkat: Değerlerin önem dereceleri farklıysa — örneğin kredisi farklı derslerin not ortalaması hesaplanırken — frekansla çarpma tek başına yetmez; bu iş ağırlıklı ortalama yöntemiyle yapılır.

Aritmetik Ortalamanın Özellikleri

• Sapmaların toplamı sıfırdır: Her değerden ortalama çıkarılırsa bulunan farkların toplamı daima 0 olur. Örneğin 2, 4, 6 verisinde ortalama 4'tür; sapmalar -2, 0 ve +2 olup toplamları 0'dır.
• Tüm verileri kullanır: Kümedeki her değer sonuca katkı yapar; hiçbiri yok sayılmaz.
• Tek ve kesindir: Bir veri kümesinin yalnızca bir aritmetik ortalaması vardır. Buna karşılık en sık tekrar eden değer olan mod birden fazla olabilir; ayrıntılar Mod dersindedir.
• Eşit değişimden eşit etkilenir: Tüm değerlere aynı sayı eklenirse ortalama da aynı kadar artar; tüm değerler aynı sayıyla çarpılırsa ortalama da aynı oranda çarpılır.
• Uç değerlere duyarlıdır: Aşağıdaki bölümde göreceğimiz gibi, tek bir aykırı değer ortalamayı ciddi biçimde kaydırabilir.

Sapmaların karelerine dayanan hesaplamalar ilgini çekiyorsa Varyans ve Standart sapma derslerine geçebilirsin; bu iki ölçü de ortalamadan hesaplanan sapmalar üzerine kuruludur.

Uç Değerler Ortalamayı Nasıl Yanıltır?

Küçük bir ofiste beş çalışanın aylık kazancı 28, 30, 32, 34 ve 36 bin TL olsun. Toplam 160 bin TL, ortalama 160 ÷ 5 = 32 bin TL'dir. Sahibin 250 bin TL kazancını da veriye eklediğimizde toplam 410, ortalama ise 410 ÷ 6 ≈ 68,3 bin TL'ye fırlar. Hiç kimsenin kazancı değişmemesine rağmen ortalama neredeyse iki katına çıkmıştır. Bu yüzden gelir, ev fiyatları gibi uç değerli verilerde ortalama tek başına yanıltıcı olabilir; sıralı verinin ortasındaki değeri gösteren Medyan bu durumlarda daha temsilcidir. Verilerin ne kadar yayıldığını tek sayıyla görmek için de Açıklık ölçüsüne bakılır.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

1. Yanlış sayıya bölmek: Bölme işlemi daima veri sayısına yapılır; grup sayısına ya da en büyük değere değil.
2. Frekansları çarpmayı atlamak: Sık verilerde değeri frekansıyla çarpmadan toplarsan sonuç hatalı çıkar. Örneğimizde 70'i bir kez yazmak yerine üç kez (70×3) hesaba katmak gerekir.
3. Ortalamayı verinin içinde aramak: Ortalama verilerden biri olmak zorunda değildir; 2, 4, 9 verisinin ortalaması 5'tir ama 5 listede yoktur.
4. Ortalamayı "en sık görülen değer" sanmak: En çok tekrar eden değer moddur. 3, 3, 8 verisinde mod 3'tür ama ortalama 14 ÷ 3 ≈ 4,7'dir.
5. Ortalamaların ortalamasını almak: 20 kişilik bir sınıfın ortalaması 60, 30 kişilik başka bir sınıfın ortalaması 80 ise birleşik ortalama 70 değildir; (60×20 + 80×30) ÷ 50 = 72'dir. Çünkü kalabalık sınıf hesaba daha ağır basar.

Hangi veri türünde hangi ortalamanın seçileceği sorusunun tamamı için Hangi ortalama ne zaman kullanılır? dersine bakabilirsin.