Ağırlıklı ortalama

Bu derste merkezi eğilim ölçülerinin en pratik üyelerinden biri olan ağırlıklı ortalamayı sıfırdan işliyoruz: formülünü, adım adım hesabını, gerçek hayattan çözümlü örneklerini ve sık yapılan hataları ele alıyoruz. Her gözlemin aynı derecede önemli olmadığı durumlarda doğru sonucu veren bu ölçü, not hesaplarından fiyat endekslerine kadar pek çok alanda karşımıza çıkar. Serinin tamamına göz atmak isteyenler İstatistik dersleri sayfamızdan devam edebilir.

Ağırlıklı ortalama nedir?

Ortalama derken çoğu zaman tüm değerlerin eşit önemli olduğunu varsayarız; oysa gerçek hayatta değerler farklı ağırlık taşır. Bir dönem notunda final sınavı bir ödevden, bir okulun genel ortalaması hesaplanırken kalabalık sınıf az kişilik sınıftan daha çok etkilidir. İşte değerler farklı önem derecelerine sahipken hesaplanan ortalamaya ağırlıklı ortalama denir: her değer kendi ağırlığıyla çarpılır, böylece önemli değerlerin ortalamayı daha güçlü çekmesine izin verilir. Bu yönüyle ağırlıklı ortalama da tıpkı aritmetik ortalama gibi veri kümesini tek bir merkezî değerle özetleyen bir merkezi eğilim ölçüsüdür.

Ağırlıklı ortalama formülü ve hesap adımları

Mantık üç sözcükte saklıdır: çarp, topla, böl. Her değeri ağırlığıyla çarpar, çarpımları toplar, sonucu ağırlıkların toplamına böleriz.

Ağırlıklı ortalama = (x₁·w₁ + x₂·w₂ + … + xₙ·wₙ) ÷ (w₁ + w₂ + … + wₙ)

Burada x₁, x₂, …, xₙ veri değerlerini; w₁, w₂, …, wₙ ise bu değerlerin ağırlıklarını gösterir. Hesabı üç adımda kurarsın:

1. Her değeri kendi ağırlığıyla çarp.
2. Bütün çarpımları topla.
3. Bulduğun toplamı ağırlıkların toplamına böl.

Ağırlıkların toplamının 1 olması şart değildir; toplam kaç çıkarsa paydaya o yazılır. Ağırlıklar zaten oransal verilmişse (0,20 ve 0,30 gibi) toplamları 1 olur ve ek bir bölme işlemi kalmaz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Dönem notu hesabı

Bir dersin dönem notu şu oranlarla belirleniyor: quiz %20, ödev %10, ara sınav %30, final %40. Öğrencinin puanları sırasıyla 80, 90, 70 ve 85 olsun:

• Quiz: 80 × 0,20 = 16
• Ödev: 90 × 0,10 = 9
• Ara sınav: 70 × 0,30 = 21
• Final: 85 × 0,40 = 34

Çarpımların toplamı 16 + 9 + 21 + 34 = 80 olduğundan dönem notu 80 olur. Aynı puanların düz ortalaması ise (80 + 90 + 70 + 85) ÷ 4 = 81,25 eder. Aradaki fark ağırlıklardan doğar: finalin payı büyük olduğundan görece düşük final puanı ortalamayı aşağı çekmiştir.

Örnek 2: Grup ortalamalarını birleştirme

A sınıfındaki 30 öğrencinin matematik ortalaması 70, B sınıfındaki 20 öğrencinin ortalaması 85 olsun. İki sınıfın birleşik ortalaması isteniyorsa ağırlık öğrenci sayısıdır:

(30 × 70 + 20 × 85) ÷ (30 + 20) = (2100 + 1700) ÷ 50 = 3800 ÷ 50 = 76

Ortalamaların düz ortalaması olan (70 + 85) ÷ 2 = 77,5 ise yanlıştır; çünkü küçük sınıftaki 85 puanının etki gücü, 30 kişilik sınıftaki 70 kadar olmamalıdır. Grup ortalamalarını birleştirirken grup büyüklükleriyle ağırlıklandırmak zorunludur.

Ağırlıklı ortalama ne zaman kullanılır?

Aşağıdaki durumlarda ağırlıklı ortalama doğru tercihtir:

• Not ve başarı hesapları: Kredisi yüksek dersten alınan not, düşük kredili derse göre genel ortalamayı daha çok etkiler.
• Ortalama maliyet: Bir ürün farklı günlerde farklı fiyatlarla ve farklı miktarlarda alındığında, birim maliyet alım miktarlarıyla ağırlıklandırılır.
• Grup ortalamalarını birleştirme: Farklı büyüklükteki grupların ortalamalarından tek bir genel ortalama üretilir.
• Endeks hesapları: Tüketici fiyat endeksi ve borsa endeksleri, kalem ya da hisse önemine göre ağırlıklandırılır.
• Beklenen değer: Olasılık hesaplarında her değer olasılığıyla çarpılır; beklenen değer, ağırlıkları olasılıklar olan bir ağırlıklı ortalamadır.

Hangi ölçünün hangi durumda seçileceği her zaman açık değildir; bu kararı kolaylaştıran Hangi ortalama ne zaman kullanılır? dersimize bakabilirsin. Verilerin yayılımını merak edenler için açıklık, varyans ve standart sapma komşu ünitemizde ayrı derslerdir.

Ağırlıklı ortalama ile aritmetik ortalama arasındaki fark

İki ölçü aynı ailedendir ve aralarındaki ilişki birkaç maddeyle özetlenebilir:

• Aritmetik ortalamada her değer eşit katkı yapar; ağırlıklı ortalamada katkı, değerin ağırlığı kadardır.
• Tüm ağırlıklar eşitse ağırlıklı ortalama aritmetik ortalamaya dönüşür; başka bir deyişle aritmetik ortalama, ağırlıkları eşit olan özel bir ağırlıklı ortalamadır.
• Ağırlıklar dengesiz dağıldıkça iki sonuç birbirinden uzaklaşır; ağırlığı büyük değer ortalamayı kendine doğru çeker.
• Veri ham hâldeyse düz ortalama kolayca hesaplanır; veri frekans ya da grup ortalamaları hâlinde sunulduysa ağırlıklı ortalama kaçınılmazdır.

Ailenin diğer üyelerinden sıralı dizideki orta değeri temsil eden Medyan ve en sık görülen değeri veren Mod derslerimize; oran ya da büyüme gibi çarpım yapılı verilerde tercih edilen Geometrik ortalama dersine göz atabilirsin.

Sık yapılan hatalar ve yanılgılar

Ağırlıklı ortalama hesaplarında en çok düşülen tuzaklar şunlardır:

• Paydayı yanlış seçmek: Çarpımlar toplanıp ağırlıkların toplamı yerine veri sayısına bölünürse sonuç bozulur; payda her zaman ağırlıkların toplamıdır.
• Grup ortalamalarını düz ortalamaya sokmak: Farklı büyüklükteki grupların ortalamaları büyüklüklerle ağırlıklandırılmadan ortalanırsa yanıltıcı sonuç çıkar; ikinci örnekte gördüğün gibi fark 1,5 puana ulaşabiliyor.
• Ağırlıkları veriyle kaydırmak: Her ağırlık, listesindeki karşısındaki değere aittir; sıralama bozulunca çarpımlar yanlış eşleşir.
• Ağırlıkların toplamının 1 olması gerektiğini sanmak: Gerekmez; toplam kaç ise payda o olur. Oransal verilen ağırlıklarda toplam zaten 1'dir ve bölme görünmez biçimde yapılmış olur.
• Amaca uymayan ortalamayı seçmek: Ağırlıklı ortalama, değerler arasında önem farkı olan veriler içindir; oran ve büyüme gibi çarpım yapılı verilerde doğru yol çoğu kez geometrik ortalamadır.