Varyans

Bir veri grubunu tanımak için yalnızca ortalamayı bilmek yetmez; değerlerin bu ortalama etrafında ne kadar dağıldığını da bilmek gerekir. İşte bu serpilmeyi tek bir sayıyla özetleyen ölçü varyanstır. İstatistik dersleri serimizin bu dersinde varyansı sıfırdan başlayarak formülü, adım adım çözümlü örnekleri ve sık yapılan hatalarla ele alıyoruz.

Varyans Nedir?

Varyans, bir veri grubundaki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını ölçen bir yayılım ölçüsüdür. Her değerin ortalamadan farkı bulunur, farkların karesi alınır, kareler toplanır ve toplam veri sayısına bölünür. Sonuç büyükse değerler ortalamadan geniş ölçüde dağılmış, sonuç küçükse ortalamaya yakın toplanmış demektir. İstatistikte varyans genellikle σ² (sigma kare) ile gösterilir.

Popülasyon için varyans formülü şöyledir:

σ² = [ (x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)² ] / n

Burada x₁, x₂, …, xₙ veri değerlerini; x̄ (x çubuk) aritmetik ortalamayı; n ise veri sayısını gösterir. Paydaki her terim bir değerin ortalamadan sapmasının karesi olduğundan, pay kısaca kareler toplamı olarak adlandırılır.

Varyans Nasıl Hesapılır?

Hesap her zaman aynı beş adımda ilerler:

1. Verilerin ortalamasını (x̄) bulun.
2. Her veriden ortalamayı çıkarıp sapmaları (x − x̄) hesaplayın.
3. Her sapmanın karesini alın.
4. Kareleri toplayın.
5. Toplamı veri sayısı ne bölün.

Çözümlü Örnek

Bir öğrencinin beş küçük sınav notu şöyle olsun: 4, 6, 8, 10, 12. Varyansı bulalım:

• Ortalama: x̄ = (4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8
• Sapmalar: −4, −2, 0, 2, 4
• Sapmaların kareleri: 16, 4, 0, 4, 16
• Kareler toplamı: 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
• Varyans: σ² = 40 / 5 = 8

Bu notlar, ortalamadan ortalama 8 kare birim kadar yayılmıştır. Kare birimle konuşmak pratik olmadığı için uygulamada genellikle bu değerin karekökü olan standart sapma kullanılır: √8 ≈ 2,83.

Aynı Ortalama, Farklı Varyans

Varyansın ne işe yaradığını en iyi çift örnek gösterir. Aşağıdaki iki veri grubunun ortalaması da 8'dir:

• A grubu: 6, 7, 8, 9, 10 → sapma kareleri 4, 1, 0, 1, 4 → varyans = 10 / 5 = 2
• B grubu: 2, 4, 8, 12, 14 → sapma kareleri 36, 16, 0, 16, 36 → varyans = 104 / 5 = 20,8

Ortalamalar birebir aynı olmasına rağmen B grubundaki değerler merkezden çok daha uzak dağılmıştır; varyans bu farkı net biçimde ortaya koyar. Kısacası ortalama verinin merkezini, varyans ise verilerin bu merkez etrafındaki serpilmesini anlatır. İkisi birlikte okunduğunda veri grubu hakkında sağlıklı bir tablo elde edilir.

Varyans Neden Karesi Alınarak Hesaplanır?

Çünkü sapmaların düz toplamı her zaman sıfırdır: ortalamadan uzaklaşan değerler kadar yaklaşanlar vardır ve pozitif ile negatif sapmalar birbirini götürür. İşaret sorununu çözmek için mutlak değer de alınabilirdi; kare almanın tercih edilmesinin başlıca nedenleri şunlardır:

• İşaret sorununu tamamen kaldırır: tüm sapmalar pozitif hâle gelir.
• Büyük sapmaları öne çıkarır: ortalamadan 4 birim sapan değer, 2 birim sapanın iki katı değil dört katı kadar etki yapar; aykırı değerler böylece görünür olur.
• İleri istatistiğe zemin hazırlar: kareli yapı, olasılık dağılımları ve tahmin yöntemlerinde varyansı doğrudan kullanılabilir kılar.

Bu tercihin bir bedeli vardır: varyansın birimi, verinin biriminin karesidir. Veriler cm cinsindense varyans cm² cinsindendir. Birimi veri birimine döndürmek için varyansın karekökü alınır ve elde edilen ölçüye standart sapma denir.

Varyansın Özellikleri

• Varyans hiçbir zaman negatif olamaz; en küçük olası değeri 0'dır.
• Varyans 0 ise tüm veriler ortalamaya eşittir; hiçbir yayılım yoktur.
• Varyansın birimi, verinin biriminin karesidir (cm → cm², kg → kg²).
• Ortalamadan çok uzaklaşan aykırı değerler varyansı hızla büyütür.
• Verilerin tümüne sabit bir sayı eklemek ya da çıkarmak varyansı değiştirmez; tüm verileri bir sabitle çarpmak varyansı bu sabitin karesiyle çarpar.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

Varyans sorularında kaybedilen puanların çoğu birkaç tekrar eden hatadan kaynaklanır. Aşağıdaki listeyi çözüm öncesi bir kontrol listesi gibi kullanabilirsiniz:

• Sapmaları karesiz toplamak: (x − x̄) değerlerinin düz toplamı her zaman 0'dır; sonucunuz 0 çıktıysa kare almayı unutmuşsunuzdur.
• Mutlak değer almak: |x − x̄| kullanmak varyansı değil başka bir ölçüyü verir; doğru işlem kare almaktır.
• n'e bölmeyi unutmak: kareler toplamı tek başına varyans değildir; mutlaka veri sayısına bölünmelidir.
• Varyans ile standart sapmayı karıştırmak: varyans kareli, standart sapma köklü değerdir; soruda hangisi istendiğine dikkat edin.
• Birimi yanlış yazmak: veri kg cinsindense varyans kg²'dir; düz kg yazmak hatalıdır.
• Ara adımlarda yuvarlamak: ortalamayı ya da sapmaları erken yuvarlamak sonucu kaydırır; yuvarlamayı en sonda yapın.
• Sıfır sonucu hata sanmak: tüm veriler birbirine eşitse varyans gerçekten 0'dır; bu bir hesap hatası değildir.

Varyans ve Diğer Yayılım Ölçüleri

Varyans, yayılım ölçüleri ailesinin tek üyesi değildir ve her soruya tek başına yetmez. En büyük ile en küçük değerin farkına bakan açıklık hızlı bir fikir verir ama yalnızca iki değeri kullanır; verileri dörde bölerek ortadaki bölümün serpilmesini gösteren çeyrekler açıklığı ise aykırı değerlerden daha az etkilenir. Farklı birimdeki ya da farklı ortalamalı verileri karşılaştırmak gerekirse, görece yayılımı ölçen değişim katsayısı devreye girer. Ortalama etrafındaki yayılımı matematiksel olarak en zengin biçimde özetleyen ölçü ise varyans ve onun karekökü olan standart sapmadır. Tüm yayılım ölçüleri derslerini görmek için İstatistik dersleri kategorimize, veri ve deney konularına hazırlananlar içinse komşu ünitedeki olasılık nedir? dersi iyi bir başlangıçtır.