Çeyrekler açıklığı

Verilerin ortalaması aynı olsa bile dağılımları birbirinden çok farklı olabilir; bu farkı yakalayan en dayanıklı ölçülerden biri çeyrekler açıklığıdır. Bu derste kavramı sıfırdan, adım adım ve bol örnekle işliyoruz; tüm serimize İstatistik dersleri kategorisinden ulaşabilirsin. Konu, bir önceki ders olan Açıklık konusunun doğal devamıdır.

Çeyrekler Açıklığı Nedir?

Sıralanmış bir veri kümesini dört eşit parçaya bölen üç değere çeyrek değerler (kartiller) denir. Bu değerler yalnızca verinin ortasının nerede olduğunu değil, ortadaki verilerin ne kadar sıkıştığını ya da yayıldığını da anlatır:

• Q1 (birinci çeyrek): Verilerin %25'inin altında kaldığı değer.
• Q2 (ikinci çeyrek): Veri kümesinin ortancası, yani medyan.
• Q3 (üçüncü çeyrek): Verilerin %75'inin altında kaldığı değer.

Çeyrekler açıklığı, Q3 ile Q1 arasındaki farktır: Çeyrekler açıklığı (ÇAA) = Q3 - Q1. Bu fark, verinin ortadaki %50'lik diliminin hangi genişlikte bir aralıkta toplandığını gösterir. En küçük ve en büyük değerler hesaba katılmadığı için uçlardaki aşırı değerlerden (aykırı değerlerden) etkilenmez; bu özelliğiyle açıklıktan daha güvenilirdir.

Çeyrekler Açıklığı Nasıl Hesaplanır?

Okul sınavlarında en yaygın yöntem, veriyi ortadan ikiye bölüp yarımların medyanını almaktır. Adım adım:

1. Verileri küçükten büyüğe doğru sırala.
2. Ortancayı (medyanı) bul; bu değer Q2'dir.
3. Tek sayıda veri varsa ortancayı dışarıda bırak; kalan verileri alt yarı ve üst yarı diye ikiye ayır.
4. Alt yarının medyanı Q1, üst yarının medyanı Q3 olur.
5. Q3 - Q1 işlemini yap.

Çift sayıda veride ortanca tek bir veri olmadığı için bölme işlemi ortancanın tam ortasından yapılır. Not: Excel veya Python gibi yazılımlar çeyrekleri bazen biraz farklı formüllerle hesaplayabilir; Q1 ve Q3 küçük kayabilir ama mantık her yerde aynıdır.

Örnek 1: Tek sayıda veri

Bir öğrencinin hafta içi her gün ders çalıştığı süreler (dakika): 30, 45, 60, 75, 80, 90, 120

• Veri sıralı; ortada kalan 4. değer ortancadır: Q2 = 75.
• Alt yarı: 30, 45, 60 → medyanı Q1 = 45.
• Üst yarı: 80, 90, 120 → medyanı Q3 = 90.
• ÇAA = 90 - 45 = 45 dakika.

Yorumu şu: haftanın ortadaki üç günündeki çalışmalar 45 ile 90 dakika arasında, yani 45 dakikalık bir bantta toplanıyor. 30 dakikalık kısa gün ile 120 dakikalık uzun gün bu ölçüye karışmıyor; onlar uçta kalan günler.

Örnek 2: Çift sayıda veri

Sekiz müşterinin bir mağazada geçirdiği süreler (dakika): 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 40

• Ortanca, 20 ile 22'nin ortasıdır: Q2 = 21.
• Alt yarı: 12, 15, 18, 20 → medyanı (15 + 18) / 2 = Q1 = 16,5.
• Üst yarı: 22, 25, 28, 40 → medyanı (25 + 28) / 2 = Q3 = 26,5.
• ÇAA = 26,5 - 16,5 = 10 dakika.

Müşterilerin ortadaki yarısı mağazada 16,5 ile 26,5 dakika arasında kalıyor; bu bant yalnızca 10 dakika genişliğinde. 40 dakikalık müşteri en yavaş müşteri olsa da ölçüyü şişirmiyor.

Aykırı Değer Tespiti: 1,5 x ÇAA Kuralı

Çeyrekler açıklığın en güçlü kullanım alanı, aykırı (uç) değer tespitidir. Kutu grafiği (box plot) çizen her yazılım bu kuralı kullanır:

• Alt sınır = Q1 - 1,5 x ÇAA
• Üst sınır = Q3 + 1,5 x ÇAA

Bu sınırların dışında kalan her değer aykırı değer kabul edilir. Hemen bir örnek: bir sınıfta sekiz öğrencinin okuduğu kitap sayıları 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 60 olsun.

• Q2 = 17; alt yarıdan Q1 = 13, üst yarıdan Q3 = 21 çıkar.
• ÇAA = 21 - 13 = 8; dolayısıyla 1,5 x 8 = 12.
• Alt sınır = 13 - 12 = 1; üst sınır = 21 + 12 = 33.
• 60 değeri 33'ün üzerinde olduğundan aykırı değerdir.

Aynı veride açıklık 60 - 10 = 50'dir ve bu büyük farkın tek sebebi 60'tır. ÇAA ise 8'dir; çeyrek değerler uçtaki o tek değeri hiç görmediği için gerçekçi bir yayılım bildirir. Tek bir değerin tüm sonucu değiştirmesini istemiyorsan çeyrekler açıklığı senin ölçündür.

Çeyrekler Açıklığı Diğer Yayılım Ölçüleriyle Nasıl Karşılaştırılır?

Hangi ölçüyü ne zaman seçeceğini bilmek, sınav sorularında ve gerçek veri analizinde işini kolaylaştırır:

• Açıklık: Hesabı en kolay ölçüdür ama en büyük ile en küçük değere dayandığı için tek bir uç değer yüzünden kolayca yanıltır.
• Çeyrekler açıklığı: Ortadaki %50'ye bakar; uç değerlere karşı dayanıklıdır ve kutu grafiğinin kalbidir.
• Varyans ve standart sapma: Her veriyi ortalamaya olan uzaklığıyla hesaba katar; en ayrıntılı bilgiyi sağlar ama uç değerlerden etkilenir. Ayrıntılar Varyans ve Standart sapma derslerimizde.
• Değişim katsayısı: Yayılımı ortalamaya oranlar; birimleri farklı serileri karşılaştırmak için uygundur. Bakınız: Değişim katsayısı.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

• Sıralamayı atlamak: Veriler karışık sırada verilmişse önce sıralamak zorunludur; sıralanmamış veride çeyrek bulmak anlamsızdır.
• Tek sayıda veride ortancayı yarımlara katmak: Q1'i ararken ortanca değeri alt yarıya dahil edersen yanlış sonuç alırsın; ortanca dışarıda kalır.
• Q3 - Q1 yerine başka fark hesaplamak: Q3 - Q2 veya Q2 - Q1 çeyrekler açıklığı değildir; çeyrekler açıklığı yalnızca Q3 - Q1'dir.
• "Açıklığın dörtte biridir" sanmak: Çeyrekler açıklığı, açıklığın dörtte biri olmak zorunda değildir; ikisi tamamen farklı değerleri kullanır.
• Aykırı değeri otomatik silmek: 1,5 x ÇAA kuralı değeri "şüpheli" olarak işaretler; silmek mi tutmak mı gerektiği veriye ve araştırmanın amacına göre kararlaştırılır.

Özetle: veriyi sırala, ortancayı bul, yarımların medyanlarını al ve Q3 - Q1'i hesapla. Bu dört adımı otomatikleştirdiğinde kutu grafiği ve aykırı değer soruları artık sana zor gelmeyecek. Yayılım ölçülerini tamamladıktan sonra serüvene Olasılık nedir? dersimizle devam edebilirsin.