Bağımsız olaylar

Bu derste olasılık kuramının temel kavramlarından bağımsız olayları sıfırdan, bol örnekli biçimde işliyoruz: ne anlama geldiklerini, hangi koşulla test edildiklerini, bağımlı olaylardan farklarını ve sınavlarda en sık yapılan hataları. Konuya ilk kez değiniyorsan, önce İstatistik dersleri sayfasındaki olasılık ünitesine göz atmanı öneririz.

Bağımsız Olaylar Nedir?

Bir olayın gerçekleşmesi ya da gerçekleşmemesi, başka bir olayın olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. Kısacası A ile B arasında bilgi akışı yoktur: B'nin gerçekleştiğini öğrenmek, A hakkındaki tahminini değiştirmez. Örneğin bir madeni parayı art arda iki kez attığında ilk atışta yazı gelmesi, ikinci atışta yazı gelme olasılığını etkilemez; paranın hafızası yoktur.

Tanımsal olarak aşağıdaki üç koşul eşdeğerdir; biri sağlanıyorsa olaylar bağımsızdır:

• P(A|B) = P(A) — B'nin gerçekleştiğini bilmek, A'nın olasılığını değiştirmiyor.
• P(B|A) = P(B) — A'nın gerçekleştiğini bilmek, B'nin olasılığını değiştirmiyor.
• P(A∩B) = P(A) · P(B) — ikisinin aynı anda gerçekleşme olasılığı, olasılıkların çarpımına eşit.

Buradaki P(A|B) gösterimi koşullu olasılıktır; ayrıntıları koşullu olasılık dersinde işlenir. A∩B ise iki olayın kesişimini, yani aynı anda gerçekleşmelerini gösterir; bu gösterimi tazelemek için birleşim ve kesişim dersine bakabilirsin.

Bağımsızlık Nasıl Test Edilir?

İki olayın bağımsız olup olmadığını anlamak için aşağıdaki adımları izle:

1. A ve B'nin tek tek olasılıklarını hesapla.
2. İki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı olan P(A∩B)'yi, olumlu sonuçları örnek uzaydan sayarak bul. Örnek uzayı belirlemekte zorlanıyorsan örnek uzay dersine göz at.
3. P(A∩B) = P(A) · P(B) eşitliğini kontrol et: eşitlik sağlanıyorsa olaylar bağımsız, sağlanmıyorsa bağımlıdır.

Zar örneği: Bir zar atılıyor; A: “çift sayı gelmesi”, B: “3'ün katı gelmesi” olsun. A = {2, 4, 6} için P(A) = 3/6 = 1/2; B = {3, 6} için P(B) = 2/6 = 1/3. A∩B = {6} olduğundan P(A∩B) = 1/6. P(A) · P(B) = 1/2 · 1/3 = 1/6 eşitliği sağlandığı için bu iki olay bağımsızdır.

Aynı deneyde B'yi “3'ten büyük gelmesi” olarak değiştir: B = {4, 5, 6} ve P(B) = 1/2. Bu kez A∩B = {4, 6} olduğundan P(A∩B) = 2/6 = 1/3, fakat P(A) · P(B) = 1/2 · 1/2 = 1/4. Eşitlik bozulduğu için bu ikili bağımlıdır. Görüldüğü gibi ilgisiz görünen olaylar her zaman bağımsız olmayabilir; kontrol daima sayılarla yapılmalıdır.

Çarpma Kuralı ile Hesaplama

Olaylar bağımsızsa kesişim olasılığı doğrudan çarpımla bulunur. Kural, üç olayın da birbirine bağımsız olduğu (karşılıklı bağımsızlık) duruma şu şekilde genellenir:

• İki bağımsız olay: P(A∩B) = P(A) · P(B)
• Üç karşılıklı bağımsız olay: P(A∩B∩C) = P(A) · P(B) · P(C)
• “En az biri” soruları: P(en az biri) = 1 - P(hiçbiri) = 1 - (1 - P(A)) · (1 - P(B))

Örnek 1: İki madeni para atılıyor. İkisinin de yazı gelme olasılığı: P = 1/2 · 1/2 = 1/4.

Örnek 2: Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi top var. İlk çekilen top torbaya geri konularak ikinci top çekiliyor. İki topun da kırmızı çıkma olasılığı: P = 4/7 · 4/7 = 16/49. Top geri konulmadan çekilseydi ikinci adımda olasılık 4/7 yerine 3/6 olurdu ve olaylar bağımlı hâle gelirdi.

Örnek 3: Bağımsız çalışan iki makineden birincisinin arızalanma olasılığı 0,1; ikincisinin 0,2'dir. İkisinin de sorunsuz çalışma olasılığı: 0,9 · 0,8 = 0,72. En az birinin çalışma olasılığı ise 1 - (0,1 · 0,2) = 0,98 bulunur.

Bağımsız ve Bağımlı Olaylar Arasındaki Fark

İki kavramı yan yana koyunca fark netleşir:

• Bağımsız: B'nin sonucunu öğrenmek, A'nın olasılığını değiştirmez; P(A|B) = P(A).
• Bağımlı: B hakkında bilgi, A'nın olasılığını değiştirir; P(A|B) ≠ P(A).
• Bağımsız: Kesişim doğrudan çarpımla bulunur: P(A∩B) = P(A) · P(B).
• Bağımlı: Kesişim için koşullu olasılık gerekir: P(A∩B) = P(A) · P(B|A).
• Tipik durum: Torbadan topu geri koyarak çekmek bağımsız, geri koymadan çekmek bağımlı deneme yaratır.

Bağımlı olaylarda hesap, “ikinci adımın olasılığı ilk adımın sonucuna göre değişir” fikrine dayanır; bu fikrin tüm ayrıntıları koşullu olasılık dersinin konusudur.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

1. “Kesişimi boş olan olaylar bağımsızdır” sanmak. Tam tersidir: P(A) ≠ 0 ve P(B) ≠ 0 iken ayrık olaylar daima bağımlıdır. Çünkü biri gerçekleşince diğeri gerçekleşemez; P(A∩B) = 0 iken P(A) · P(B) ≠ 0 çıkar.
2. Kumarbaz yanılgısı. Madeni para beş kez üst üste yazı geldiyse “bu kez tura gelir” düşüncesi yanlıştır; atışlar bağımsız olduğundan olasılık hâlâ 1/2'dir.
3. Kesişimde toplama kullanmak. “A ve B” için olasılıklar çarpılır; toplama kuralı birleşime, yani “A veya B” sorularına aittir.
4. Bağımsızlığı sezgiyle varsaymak. İlgisiz görünen olaylar, ortak bir neden ya da aynı havuzdan seçim yüzünden bağımlı çıkabilir; sonuç her zaman P(A∩B) = P(A) · P(B) eşitliğiyle sınanmalıdır.
5. “En az biri” sorusunu doğrudan saymak. Tüm durumları tek tek toplamak yerine, 1'den hiçbirinin gerçekleşmediği durumun olasılığını çıkarmak daha kısa ve hatasızdır.

Öğrendiklerini Pekiştir

Bağımsızlık, olasılık ünitesinin sonraki konularının da temelidir: n kez tekrarlanan bağımsız denemelerde başarı sayısını modelleyen binom dağılımı, doğrudan bu derste gördüğün çarpma kuralına dayanır. Temel kavramları tazelemek için olasılık nedir? ve olay derslerine dönebilir; olaylar arası bilgi aktarımını kullanan ileri bir uygulama için Bayes teoremi dersine geçebilirsin.