Örnek uzay

Bir olasılık problemini çözmeye nereden başlanır? Cevap çoğu zaman örnek uzayı doğru yazmaktan geçer. Bu derste bir rastgele deneyin tüm olası sonuçlarını kapsayan örnek uzay kavramını sıfırdan, bol örnek ve sık yapılan hatalarla ele alıyoruz. Temeli tazelemek isteyenler Olasılık nedir? dersimize, genel bakış için İstatistik dersleri sayfamıza göz atabilir.

Örnek Uzay Nedir?

Örnek uzay, bir rastgele deneyin gerçekleşebilecek tüm sonuçlarının oluşturduğu kümedir ve genellikle S harfiyle gösterilir. Buradaki "deney" yalnızca laboratuvar işini değil, sonucu önceden kesin bilinmeyen her süreci kapsar: para atmak, zar atmak, bir torbadan top çekmek gibi. Örnek uzayın her üyesine örnek nokta (basit sonuç) denir.

• Madeni para atılırsa: S = {Yazı, Tura} → örnek uzay 2 elemanlıdır.
• Zar atılırsa: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 elemanlıdır.
• Kırmızı, beyaz ve mavi topların bulunduğu bir torbadan top çekilirse: S = {Kırmızı, Beyaz, Mavi}.

Örnek uzayın eleman sayısı |S| biçiminde gösterilir; zar örneğinde |S| = 6'dır. Bu sayı, eş olası sonuçlara dayanan olasılık hesaplarının temel paydasıdır.

Örnek Uzay Nasıl Yazılır?

Doğru bir örnek uzay üç şartı aynı anda sağlar: sonuçlar eksiksiz, birbirinden farklı ve deneyde izlenen şeye uygun olmalıdır. Aşağıdaki adımları izleyebilirsin:

1. Deneyde neye bakıldığını netleştir: sonucun kendisi mi, yoksa sonucun bir özelliği mi izleniyor?
2. Tüm olası sonuçları sistematik biçimde listele; gerekiyorsa ağaç şeması çiz.
3. Hiçbir sonucun eksik ya da tekrarlı olmadığından emin ol.
4. Kümeyi S = { ... } biçiminde yaz ve |S| değerini belirle.

Tek Aşamalı Deneylerde

Aynı deneyde bile amaca göre farklı örnek uzaylar yazılabilir. Atılan bir zar için "kaç geldi?" sorusu soruluyorsa S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; "çift mi tek mi geldi?" sorusu soruluyorsa S = {Çift, Tek} yazılır. Yani örnek uzayı deneyin kendisi değil, deneyde neye bakıldığı belirler.

İki Aşamalı Deneylerde: Ağaç Şeması

İki madeni para atıldığında ağaç şeması sonuçları düzenli biçimde listeler: (Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T). Birinci ve ikinci para ayırt edilebildiği için sıralı yazım kullanılır ve |S| = 4 bulunur. Benzer biçimde iki zar atılırsa her aşama 6 olasılık taşıdığı için |S| = 6 × 6 = 36 olur.

Örnek Uzay Türleri

Sonuçların yapısına göre iki tür örnek uzay vardır. Bu ayrım ileride Rastgele değişken dersinde kesikli–sürekli ayrımı olarak karşımıza çıkar; ayrıntı için Kesikli ve sürekli değişken konumuza bakabilirsin.

• Kesikli (sayılabilir) örnek uzay: Sonuçlar tek tek sayılabilir: zar atışı, çekilen topun rengi, bir saatte gelen arama sayısı gibi.
• Sürekli örnek uzay: Sonuçlar bir aralıkta herhangi bir değer olabilir; küme listeyle değil aralıkla yazılır. Bir ampulün yanma süresi için S = [0, ∞), 15 dakikada bir geçen bir otobüsü bekleme süresi için S = [0, 15) biçiminde gösterilir.

Sürekli örnek uzayda "sonucun tam olarak 5 dakika olması" gibi tek bir noktanın olasılığı sıfırdır; anlam taşıyan olasılıklar aralıklara aittir. Bu yüzden sürekli durumda örnek uzay "liste" değil "aralık" olarak düşünülür.

Örnek Uzay ile Olay Arasındaki İlişki

Olay, örnek uzayın bir alt kümesidir. Zar örneğinde "çift sayı gelmesi" olayı A = {2, 4, 6} biçiminde yazılır ve A ⊂ S'dir. Eş olası sonuçlara dayanan klasik tanımda bir olayın olasılığı, o olaya ait örnek nokta sayısının |S|'ye oranıdır: P(A) = s(A)/|S|. Zar örneğinde P(çift) = 3/6 = 1/2 çıkar. Olayların örnek uzay üzerindeki birleşim, kesişim ve fark işlemlerini Olay ve Birleşim ve kesişim derslerinde ayrıntılı işledik.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

• Örnek uzayı olayla karıştırmak: S deneyin tüm sonuçlarını kapsar; olay ise bu kümenin yalnızca bir parçasıdır. "Zarda çift gelmesi" bir olaydır, örnek uzay değil.
• İki parada üç sonuç yazıp eş olası saymak: {YY, YT, TT} yazımı sonuç türlerini verir ama bunlar eş olası değildir: YT'nin olasılığı 2/4, YY'nin olasılığı 1/4'tür. Klasik formül kullanılacaksa 4 elemanlı eş olası liste yazılmalıdır.
• Tek bir özelliğe sıkışıp kalmak: İki zarda yalnızca toplamları izleyen biri S = {2, 3, ..., 12} elde eder. Bu geçerli bir örnek uzaydır ama 11 elemanlıdır; 36'lık tabloyla karıştırılmamalıdır.
• (1, 3) ile (3, 1)'i aynı saymak: İki zar ayırt edilebiliyorsa bunlar farklı sonuçlardır; 36'lık örnek uzay tam olarak bu ayrıma dayanır.
• Örnek uzayın deneyden otomatik çıktığını sanmak: Aynı deneyde amaca göre farklı örnek uzaylar yazılabilir; ölçüt, seçilen örnek uzayın sorulan soruyu karşılaması ve gerektiğinde eş olası sonuçlar sunmasıdır.

Örnek uzay doğru yazıldığında olasılık sorusunun büyük bölümü sayma problemine dönüşür. Bir sonraki adım olarak Koşullu olasılık ve Bağımsız olaylar dersleri örnek uzayın nasıl daraltıldığını işler; ileri düzeye hazırlananlar Bayes teoremi dersimize geçebilir.