Birleşim ve Kesişim

Bu derste olasılığın en temel iki işlemini, yani birleşim ve kesişim kavramlarını sıfırdan işliyoruz: “ve” ile “veya” olasılıklarının farkını, toplam olasılık kuralını ve bol sayıda çözümlü örneği bu sayfada bulacaksın. Olay kavramına henüz hâkim değilsen önce Olay dersimize bakmanı öneririz. Tüm konu anlatımlarımıza ise İstatistik dersleri bölümünden ulaşabilirsin.

Birleşim ve Kesişim Nedir?

Bir deneyde aynı anda iki olayı düşündüğümüzde, bu ikisini birleştirerek ya da ortak taraflarını alarak yeni olaylar üretiriz. Küme konusundan hatırlayacağın bu iki işlem, olasılık sorularının neredeyse tamamının iskeletini oluşturur:

• Birleşim (A ∪ B): A’ya veya B’ye ait tüm durumların oluşturduğu kümedir. Olasılık dilinde “A veya B gerçekleşir”, yani “en az biri gerçekleşir” demektir.
• Kesişim (A ∩ B): Hem A’ya hem B’ye ait, iki olayın ortak durumlarını gösterir. “A ve B birlikte gerçekleşir” demektir.

Bu iki işlemi örnek uzayın üzerinden düşünmek her şeyi netleştirir: Örnek uzayın nasıl oluşturulduğunu bilmiyorsan Örnek uzay dersimize göz at.

Kesişim: “Ve” Olayı (A ∩ B)

Bir zar atıldığında A olayı “çift sayı gelmesi” yani {2, 4, 6}, B olayı “3’ten büyük sayı gelmesi” yani {4, 5, 6} olsun. Hem çift hem de 3’ten büyük olan sayılar 4 ve 6’dır; dolayısıyla A ∩ B = {4, 6} olur ve P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3 bulunur.

Bazı olayların kesişimi ise hiç olmaz: Tek zar atışında “1 gelmesi” ile “6 gelmesi” olayları aynı anda gerçekleşemez. Kesişimi boş küme olan bu tür olaylara ayrık (birlikte gerçekleşmez) olaylar denir ve P(A ∩ B) = 0’dır.

Birleşim: “Veya” Olayı (A ∪ B)

Aynı zar örneğinde A ∪ B, çift sayılarla 3’ten büyük sayıların hepsini toplar: {2, 4, 6} ∪ {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}. Burada 4 ve 6 iki kez yazılmaz; birleşimde ortak elemanlar yalnızca bir kez görünür. Böylece P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3 olur.

Soru metinlerinde birleşimi tanıyabileceğin ifadeler şunlardır:

• “A veya B gerçekleşir”
• “En az biri gerçekleşir”
• “A’ya ya da B’ye ait olan durumlar”

Kesişim için ise “her ikisi de”, “aynı anda”, “birlikte” ifadeleri kullanılır. Pratik bir kural: Soruda “en az” görürsen birleşimi, “ve” ya da “her ikisi” görürsen kesişimi düşün.

Toplam Olasılık Kuralı: P(A ∪ B) Nasıl Hesaplanır?

İki olayın birleşiminin olasılığı, toplam olasılık kuralı ile bulunur:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Formülde kesişimin neden çıkarıldığını zar örneğiyle görelim: P(A) + P(B) = 3/6 + 3/6 = 6/6 çıkardı, oysa gerçek birleşim olasılığı 4/6 idi. Fark tam da iki kez sayılan ortak kısım, yani P(A ∩ B) = 2/6 kadardır. Ortak kısım çıkarılmazsa aynı durumlar çift sayılır.

Ayrık olaylarda özel durum

Olaylar ayrıksa kesişim boş olduğundan P(A ∪ B) = P(A) + P(B) olur. Yazı tura deneyinde “yazı gelmesi” ile “tura gelmesi” ayrıktır; toplam olasılık 1/2 + 1/2 = 1’dir.

Bağımsız olaylarda kesişim

İki olay bağımsızsa kesişim olasılığı çarpımla bulunur: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Örneğin bir zarla bir para aynı anda atılırsa “6 gelmesi” ile “yazı gelmesi” bağımsızdır ve birlikte gerçekleşme olasılığı 1/6 · 1/2 = 1/12’dir. Ayrıklık ile bağımsızlık farklı kavramlardır; ayrıntılar için Bağımsız olaylar dersine bakabilirsin.

Bir de tamamlayıcı yol vardır: “En az biri”nin tersi “hiçbiri”dir. Dolayısıyla P(A ∪ B) = 1 − P(hiçbiri gerçekleşmez) diye de hesaplanabilir. Bu yol, soruda kesişimin doğrudan verilmediği durumlarda işini epey kolaylaştırır.

Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1: Sınıf anketi

Bir sınıftaki 30 öğrenciye en çok sevdiği iki ders soruluyor; 18’i matematiği, 15’i fiziği sever, 8 öğrenci ikisini de sever. Seçilen bir öğrencinin en az bir dersi sevme olasılığı: P(M ∪ F) = 18/30 + 15/30 − 8/30 = 25/30 = 5/6. Aynı veriden yalnızca matematiği sevenler 18 − 8 = 10, yalnızca fiziği sevenler 15 − 8 = 7, hiçbirini sevmeyenler 30 − 25 = 5 kişidir. Kontrol edelim: 1 − 5/30 = 25/30, yani sonuç tutarlı.

Örnek 2: Kesişimi formülden bulmak

P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 ve P(A ∪ B) = 0,8 ise toplam olasılık kuralını kesişim için düzenleyelim: P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 − 0,8 = 0,3. “Yalnız A” olayı ise P(A) − P(A ∩ B) = 0,6 − 0,3 = 0,3’tür. Bu tarz sorularda önce verilenleri birleşim ve kesişim diline çevirmek, işin yarısını çözer.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

1. Kesişimi çıkarmayı unutmak: P(A ∪ B) yerine P(A) + P(B) yazmak ortak durumları iki kez sayar; sonuç hatalı olduğu gibi 1’i bile aşabilir.
2. “Veya”yı yanlış anlamak: Günlük dilde “veya” bazen “ya biri ya diğeri” anlamına gelse de olasılıkta “A veya B” ifadesi “ikisi de dahil, en az biri” demektir.
3. Ayrık ile bağımsızı karıştırmak: Ayrık olaylar birlikte gerçekleşemez (P(A ∩ B) = 0); bağımsız olaylar birbirini etkilemez (P(A ∩ B) = P(A) · P(B)). İkisi aynı şey değildir.
4. Her zaman çarpmak: Kesişim olasılığını her soruda P(A) · P(B) olarak almak yanlıştır; bu yalnızca bağımsız olaylarda geçerlidir.
5. Sıralamayı tersine çevirmek: Kesişim olasılığı tek başına A’nın olasılığını geçemez: P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B). Bu eşitsizlik, çeldirici seçenekleri hızla elemeni sağlar.

Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde diğerinin olasılığının nasıl değiştiği sorusunun cevabı, kesişimle doğrudan bağlantılıdır; bu bağlantıyı Koşullu olasılık dersinde derinlemesine işleyeceğiz. Olasılık ünitesinin genel çerçevesini görmek içinse Olasılık nedir? dersinden başlayabilirsin.