Olay

Bu derste olasılığın yapı taşlarından biri olan olay kavramını baştan sona işliyoruz: olay nedir, basit ve bileşik olay ne demek, kesin ve imkânsız olaylar nasıl ayırt edilir, hepsini bol örnekle anlatıyoruz. Konuyu sağlam bir temele oturtmak için önce Olasılık nedir? ve Örnek uzay derslerimize göz atmanı öneririz. Olasılık ünitesindeki tüm dersler için İstatistik dersleri bölümümüze bakabilirsin.

Olay Nedir?

Bir rastgele denemenin olası tüm sonuçlarının oluşturduğu kümeye örnek uzay (S) denir; bu örnek uzayın her alt kümesine olay denir. Olay, denemenin sonucu belirli durumlardan biri olduğunda gerçekleşen ilgilendiğimiz durumu matematiksel olarak ifade etmenin yoludur.

Tek zar atma deneyini ele alalım. Örnek uzay S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Zarın çift sayı gelmesi bir olaydır ve A = {2, 4, 6} kümesiyle gösterilir. Zar 2, 4 ya da 6 geldiğinde A olayı gerçekleşmiş olur; zar 1, 3 veya 5 geldiğinde ise A olayı gerçekleşmemiştir.

Tek elemanlı kümler de olaydır: {5} kümesi zarın 5 gelmesi olayını anlatır. Olaylar genellikle A, B, C gibi büyük harflerle adlandırılır ve küme parantezi içinde yazılır. Bu yüzden olaylarla çalışırken küme bilgisi doğrudan işine yarar.

Basit Olay ve Bileşik Olay

Olaylar, içerdikleri sonuç sayısına göre ikiye ayrılır:

• Basit olay: Yalnızca tek sonuçtan oluşan olaydır. Zar atışında {3} kümesi basit olaydır; 3 gelmesi durumu tek bir biçimde gerçekleşebilir.
• Bileşik olay: Birden fazla sonuçtan oluşan olaydır. Zarın 3'ten küçük gelmesi olayı B = {1, 2} kümesidir ve sonucun 1 ya da 2 olması hâlinde gerçekleşir.

Farkı aynı deney üzerinde netleştirelim: {6} kümesi basit olaydır; tek sayı gelmesi ise {1, 3, 5} kümesiyle gösterildiğinden bileşik olaydır. Basit olayın olasılığı tek bir uygun durum üzerinden hesaplanır; bileşik olayda ise uygun durumların tümü dikkate alınır.

Kesin Olay, İmkânsız Olay ve Diğer Olaylar

Bazı özel olaylar, olasılık hesaplarının sınırını çizer ve sık karşımıza çıkar:

• Kesin olay: Her denemede mutlaka gerçekleşen olaydır. Örnek uzayın kendisine (S) karşılık gelir ve olasılığı 1'dir; zarın 1 ile 6 arasında bir sayı gelmesi kesin olaydır.
• İmkânsız olay: Hiçbir denemede gerçekleşmeyen olaydır. Boş kümeye (∅) karşılık gelir ve olasılığı 0'dır; zarın 7 gelmesi imkânsız olaydır.
• Mümkün olaylar: Bu ikisinin dışında kalan tüm olaylardır; olasılıkları 0 ile 1 arasındadır.

Bu üç durum, olasılık kavramının temel kuralını da verir: hiçbir olayın olasılığı 0'dan küçük, 1'den büyük olamaz.

Bir Olayın Oluşması ve Uygun Durum Sayısı

Denemenin sonucu, olayı belirten kümenin bir elemanıysa olay gerçekleşmiş olur. Bir A olayına uygun (favori) sonuçların sayısı s(A) ile gösterilir. Sonuçlar eş şanslıysa bir olayın olasılığı, uygun durum sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölümüdür:

P(A) = s(A) / s(S)

Çözümlü örnek: İki madeni para havaya atılıyor. Örnek uzay S = {TT, TY, YT, YY} olur. En az birinin tura gelmesi olayı A = {TT, TY, YT} kümesidir; s(S) = 4 ve s(A) = 3 olduğundan P(A) = 3/4 bulunur. Sonuç YY olduğunda ise A olayı gerçekleşmez.

Bir örnek daha: Bir zar iki kez atılıyor ve gelen sayılar toplanıyor. Toplamın 8 olması olayı B, (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) ikililerinden oluşur; s(S) = 36 olduğundan P(B) = 5/36'dır. Görüldüğü gibi yol her zaman aynıdır: önce olay kümesini doğru yaz, sonra uygun durumları say.

Olaylarda Küme İşlemleri

Olaylar örnek uzayın alt kümesi olduğundan, kümelerdeki birleşim, kesişim ve tümleme işlemleri olaylara aynen uygulanır. A veya B ifadesi iki olayın birleşimini, A ve B ifadesi kesişimini, A'nın olmaması ifadesi ise A'nın tümleyenini gösterir. Kesişimleri boş küme olan olaylara ayrık olaylar denir; bu olaylar aynı denemede birlikte gerçekleşemez. Zar atışında çift gelmesi ile 5 gelmesi ayrık olaylara örnektir. Bu işlemlerin adım adım hesabını Birleşim ve kesişim dersinde işliyoruz; bir olayın diğerini etkilemeden gerçekleşmesi konusu ise Bağımsız olaylar dersinin konusudur.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

Olay sorularında en çok düşülen hatalar şunlardır:

• Olay ile örnek uzayı karıştırmak: Örnek uzay denemenin tüm olası sonuçlarıdır; olay ise bunun bir alt kümesidir. Zar attığında tüm sonuçlar örnek uzayı, çift geldi durumu ise bir olayı anlatır.
• Sonuçları eksik saymak: İki paranın atışında TY ile YT farklı sonuçlardır. Sıralı yazmadan yapılan sayım, olasılığı doğrudan yanlıştır.
• En az bir ile en fazla bir ifadelerini karıştırmak: En az bir tura durumu {TT, TY, YT}; en fazla bir tura durumu ise {TY, YT, YY} kümesidir. Sorudaki kelimeleri dikkatle okumak gerekir.
• Özel olayların olasılığını yanlış hatırlamak: Kesin olayın olasılığı 1, imkânsız olayın olasılığı 0'dır; bunları ters ya da 0–1 aralığı dışında sanmak yaygın bir yanılgıdır.
• Tek elemanlı kümeleri olay saymamak: {4} gibi tek sonuçlu kümeler de olaydır ve basit olay olarak adlandırılır.