Koşullu Olasılık

Bu derste olasılık teorisinin en güçlü araçlarından biri olan koşullu olasılığı sıfırdan işliyoruz: yeni bilginin örnek uzayını nasıl daralttığını, formülün nereden geldiğini ve üç ayrı çözümlü örnekle hesabın nasıl yapılacağını öğreneceksin. Yol boyunca sık yapılan hataları da tek tek ele alacağız. Serinin tamamı için İstatistik dersleri sayfamıza, temelleri tazelemek için Olasılık nedir? dersine göz atabilirsin.

Koşullu Olasılık Nedir?

Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiğinin bilindiği durumda başka bir olayın olasılığını hesaplamamızı sağlar. P(A|B) gösterimi, B gerçekleştiğinde A'nın olasılığı anlamına gelir; dikey çizgi, koşulu altında ifadesini taşır. A ile B'nin bu gösterimdeki yerleri değişirse soru bambaşka hâle gelir; bu yüzden hangisinin koşul olduğunu her adımda netleştirmek gerekir.

Koşullu olasılığın özü tek cümledir: yeni bilgi geldiğinde örnek uzay daralır. Artık bütün olası sonuçlara değil, yalnızca koşulu gerçekleyen sonuçlara bakarız. Basit bir zar örneğiyle görelim:

• Soru: Zar atıldı ve çift sayı geldiği biliniyor. Zarın 6 gelme olasılığı nedir?
• Koşulsuz durumda P(6) = 1/6 idi; çünkü örnek uzayda altı eş olası sonuç vardı: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Çift geldiği bilindiğine göre örnek uzay {2, 4, 6} kümesine iner. Üç eş olası sonuçtan 6 yalnızca biridir; dolayısıyla cevap 1/3'tür.

Koşul sayesinde 6'nın olasılığı 1/6'dan 1/3'e çıktı: bilgi, tahminimizi güncelledi. Bu güncelleme fikri konunun kalbidir. Örnek uzay ve olay kavramlarını hatırlamak istersen Örnek uzay ile Olay derslerine dönebilirsin.

Koşullu Olasılık Formülü

Sonuç sayarak çözüm her seferinde pratik olmayabilir; genel araç şu formüldür:

P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) — burada P(B) sıfırdan farklıdır.

Formülü ezberlemek yerine parçalarını çözmek daha kalıcıdır:

• P(A ∩ B): Hem A hem B'nin aynı anda gerçekleşme olasılığıdır; yani iki olayı da gerçekleyen sonuçların, tüm sonuçlara oranı.
• P(B): Koşul olayının olasılığıdır ve formülde daralmış yeni örnek uzayı temsil eder.
• P(B) = 0 ise: Hiç gerçekleşmeyen bir olayı koşul yapmak anlamsızdır; bu durumda P(A|B) tanımsızdır.

Kesişim olasılıklarının hesaplanma mantığını görmek için Birleşim ve kesişim dersine bakabilirsin. Formülden terim taşıyarak çarpım kuralını da yazarız: P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B). Bu kural, ardışık deneylerde toplam olasılığı parça parça kurmamızı sağlar.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Sınıf Anketi

20 kişilik bir sınıfta 12 kız ve 8 erkek öğrenci vardır. Matematiği sevenler arasında 7 kız ve 3 erkek bulunuyor. Matematiği sevdiği bilinen rastgele bir öğrencinin kız olma olasılığı nedir?

• Hedef: P(Kız | Matematik sever).
• P(Kız ∩ Matematik sever) = 7/20; çünkü her iki koşulu da sağlayan 7 öğrenci var.
• P(Matematik sever) = 10/20; çünkü koşulu sağlayan toplam kişi sayısı 10.
• P(Kız | Matematik sever) = (7/20) ÷ (10/20) = 7/10.

Koşul olmasaydı cevap 12/20 olacaktı. Koşul geldiğinde örnek uzay 20'den 10'a indiği için oran değişti; koşullu olasılığın gücü tam olarak bu değişimdir.

Örnek 2: Yerine Koymadan Çekim

Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi top var. Peş peşe iki top, çekilen top geri konmadan çekiliyor. İlk topun kırmızı çekildiği biliniyorsa, ikinci topun da kırmızı olma olasılığı nedir?

• İlk kırmızı gittiğinde torbada 2 kırmızı ve 5 mavi, yani 7 top kalır.
• Kalan 7 toptan 2'si kırmızı olduğundan cevap 2/7'dir.
• Formülle: P(K₂|K₁) = P(K₁ ∩ K₂) ÷ P(K₁) = (3/8 · 2/7) ÷ (3/8) = 2/7.

Yerine koymadan çekim, koşullu olasılığın en doğal uygulamasıdır: ilk sonuç, ikinci çekimin koşullarını değiştirir ve iki olay bağımlı hâle gelir.

Örnek 3: İki Zar Atma

İki hilesiz zar atılıyor; toplamın 8 olduğu biliniyorsa, zarların eşit gelme olasılığı nedir?

• 36 eş olası sonuçtan toplamı 8 yapanlar: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2); koşul örnek uzayı 5 sonuca indirir.
• Eşit gelme yalnızca (4,4) durumunda gerçekleşir.
• Cevap: 1/5.

Toplam 8 bilgisi, zarların eşit gelme olasılığını koşulsuz 1/6 değerinden 1/5'e taşıdı. Bilgi geldikçe tahminin değişmesi, koşullu olasılığın anlattığı şeyin ta kendisidir.

Koşullu Olasılık ile Bağımsız Olaylar İlişkisi

Koşullu olasılık, bağımsızlığın en temiz tanımını da verir: B koşulu A'nın olasılığını hiç değiştirmiyorsa, yani P(A|B) = P(A) eşitliği sağlanıyorsa, A ile B bağımsızdır. Kısacası bilginin işe yaramaması, bağımsızlığın ta kendisidir. Ayrıntıları Bağımsız olaylar dersinde bulabilirsin; burada bir örnekle pekiştirelim:

• Bir yazı-tura atılırken aynı anda bir zar da atılıyor. Tura geldi bilgisinin zarın 6 gelmesine etkisi yoktur: P(6|Tura) = 1/6 = P(6).
• Bu yüzden yazı-tura ile zar atışı bağımsız olaylardır.
• Buna karşılık iki zar örneğinde toplam 8 bilgisi, eşit gelme olasılığını değiştirdi; bu iki olay bağımlıdır.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

Koşullu olasılık, gösterimin sadeliği yüzünden kolayca karıştırılır. Aşağıdaki listeyi sınav öncesinde bir kez daha gözden geçir:

1. P(A|B) ile P(B|A)'yı karıştırmak: En yaygın hatadır. Yağmur yağdığında yolun ıslak olma olasılığı ile yol ıslak olduğunda yağmur yağmış olma olasılığı aynı değildir. Koşul ile hedefin yerini her soruda yeniden doğrula.
2. P(A ∩ B) ile P(A|B)'yi karıştırmak: Kesişim tüm sonuçlara göre; koşullu olasılık ise yalnızca koşulu gerçekleyen sonuçlara göre hesaplanır. Ve ile verildiğinde sözcüklerini ayırt et.
3. Örnek uzayı güncellemeyi unutmak: Koşul verildiği hâlde hâlâ 36 sonuçla ya da 20 öğrenciyle hesap yapmak klasik bir puan kaybıdır. Koşul varsa evren, koşulu sağlayan sonuçlardır.
4. Dışlayıcılığı bağımsızlık sanmak: Kesişimleri boş olan A ve B için P(A|B) = 0 çıkar; bu değer çoğu zaman P(A)'dan farklıdır. Yani pozitif olasılıklı dışlayıcı olaylar bağımsız değil, tam tersine güçlü biçimde bağımlıdır.
5. Böleni kontrol etmemek: Formülün paydası koşul olayının olasılığıdır; P(B) = 0 ise P(A|B) tanımsızdır. Formülü körlemesine uygulamak anlamsız sonuç üretir.

Sonraki Adım: Bayes Teoremi

Koşullu olasılığı kavradıktan sonra doğal bir soru belirir: P(A|B)'yi biliyorsak P(B|A)'yı da hesaplayabilir miyiz? Bu ters yönlü çeviriyi gerçekleyen araç Bayes teoremidir; tıbbi testlerin doğru yorumlanmasından spam filtrelerine kadar pek çok alanda koşullu olasılığın bu yüzü kullanılır. Olasılık kavramlarının rastgele büyüklüklere uygulanmaya başladığı Rastgele değişken dersi ise ünitenin devamında seni bekliyor.