Bayes teoremi

Bu derste olasılık kuramının en güçlü araçlarından biri olan Bayes teoremi'ni sıfırdan işliyoruz: formülün her bir parçasını, adım adım çözülmüş iki örneği ve bu konuda en sık yapılan hataları bulacaksın. Konu koşullu olasılık bilgisinin üzerine kurulur; o dersi okumadıysan önce oraya bakmanı öneririz. Ünitenin tamamına ulaşmak için İstatistik dersleri sayfamıza göz atabilirsin.

Bayes Teoremi Nedir?

Bayes teoremi, yeni bir kanıt elde edildiğinde bir olayın olasılığını güncellemeyi sağlayan formüldür. Günlük hayattan tıbbi testlere, spam filtrelerinden fabrika hata analizine kadar "sonucu görüp nedenini değerlendirme" gerektiren her yerde karşımıza çıkar. Teoremin adı, 18. yüzyılda bu fikri matematiksel olarak ortaya koyan İngiliz rahip ve matematikçi Thomas Bayes'ten gelir.

P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / P(B)

Formülün söylediği şudur: B olayının gerçekleştiğini gözlemlediysek, A'nın olasılığını baştan verilen değerde bırakmayız; A'nın B ile ilişkisini (P(B | A)) ve A'nın başlangıç olasılığını (P(A)) birleştirerek yeniden hesaplarız. Teorem, "B biliniyorken A" sorusunu, "A biliniyorken B" bilgisinden ürettiği için buna ters koşullu olasılık hesabı da denir.

Formülün Bileşenleri

Dört terimin her birinin ayrı bir adı ve görevi vardır:

• P(A) — önsel (prior) olasılık: Kanıtı hiç görmeden önce A'ya atadığımız olasılıktır; başlangıç inancımızdır.
• P(B | A) — olabilirlik (likelihood): A gerçekten doğruysa B'yi gözlemleme olasılığıdır.
• P(B) — kanıt (toplam) olasılık: B olayının tüm senaryolar üzerinden toplam gerçekleşme olasılığıdır; formülün paydasıdır ve sonucun 0 ile 1 arasında kalmasını güvence altına alır.
• P(A | B) — sonsal (posterior) olasılık: B'yi gördükten sonraki güncellenmiş olasılıktır; aranılan cevap budur.

Bayes Teoremi Adım Adım Nasıl Uygulanır?

Soruyu formüle doğru dökebilmek için sırayla şu adımları izle:

1. Sorudaki olayları adlandır: nedeni temsil eden olaya A, gözlediğin kanıta B de.
2. Önsel olasılığı P(A) bul; soru metni genellikle doğrudan verir (örn. "hastalığın görülme sıklığı %1").
3. Olabilirliği P(B | A) yaz; yani A varken B'nin görülme olasılığı (örn. "hastaların %90'ında test pozitif çıkar").
4. Paydayı tüm yollarla kur: P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | A değil) × P(A değil).
5. Değerleri formüle koy ve bölmeyi yap; çıkan sonuç güncellenmiş sonsal olasılıktır.

Klasik Örnek: Hastalık Tarama Testi

Bir hastalığın toplumdaki görülme sıklığı %1'dir. Bu hastalığa sahip biri testte %90 oranında pozitif sonuç alır; hastalığı olmayan kişilerde ise test %5 oranında yanlış pozitif verir. Testi pozitif çıkan rastgele bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

Hasta olma olayına H, testin pozitif çıkmasına T diyelim. Verilenler: P(H) = 0,01; P(T | H) = 0,90; P(T | H değil) = 0,05. Önce payda hesaplanır: P(T) = 0,90 × 0,01 + 0,05 × 0,99 = 0,009 + 0,0495 = 0,0585. Sonra formül uygulanır: P(H | T) = 0,009 / 0,0585 ≈ 0,154. Yani pozitif çıkan kişi yalnızca yaklaşık %15 olasılıkla hastadır. Çoğu kişi bu sonucu %90 bekler; farkın sebebi hastalığın nadir olması, yani önsel olasılığın düşük olmasıdır.

İkinci Örnek: Hatalı Ürün Hangi Makineden Çıktı?

Bir fabrikada ürünlerin %60'ını Makine A, %40'ını Makine B üretmektedir. Makine A ürünlerin %2'sini, Makine B ise %5'ini hatalı yapmaktadır. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olduğu görülürse, bu ürünün Makine B'den çıkmış olma olasılığı nedir?

Makine B'den çıkmaya B, hatalı olmaya H diyelim. Payda, toplam hatalı üretim oranıdır: P(H) = 0,60 × 0,02 + 0,40 × 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Formülü uygularsak: P(B | H) = (0,05 × 0,40) / 0,032 = 0,020 / 0,032 = 0,625. Hatalı bir ürün yaklaşık %62,5 olasılıkla Makine B'den çıkmıştır. Üretimin yalnızca %40'ını yapan makinenin hataların çoğundan sorumlu olması, Bayes'in ayırt edici gücünü gösteren tipik bir sonuçtur.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

Bayes sorularında en çok düşülen tuzaklar şunlardır:

• P(A | B) ile P(B | A) karıştırmak: "Test pozitifse hasta olma olasılığı" ile "hastaysa testin pozitif çıkma olasılığı" aynı şey değildir; formül tam da bu ikisini birbirine bağlar.
• Önsel olasılığı yok saymak (temel oran yanılgısı): Nadir bir hastalıkta pozitif sonuç bile düşük hasta olasılığı verebilir; testin %90 doğruluğu, sonucun %90 çıkacağı anlamına gelmez.
• Paydayı eksik kurmak: P(B) hesaplanırken kanıta götüren tüm senaryolar toplanmalıdır; yalnızca tek senaryoyu yazıp bölmek sonucu olduğundan büyük gösterir.
• Yüzde ile ondalık karışıklığı: %5 = 0,05 demektir; işlem boyunca her değeri ondalık yaz, sonucu en sonda yüzdeye çevir.
• Bağımsızlık sanmak: Kanıt ile asıl olay arasında bağımlılık varsa güncelleme gerekir; olaylar gerçekten bağımsızsa bağımsız olaylar dersinde işlendiği gibi koşullu olasılık değişmez, güncelleme de olmaz.

Bu derste kurduğun güncelleme mantığı, komşu ünitedeki rastgele değişken ve dağılım konularının da temelini oluşturur. Olasılığa ilk adım olarak Olasılık nedir? dersinden başlayıp sırasıyla Örnek uzay ve Olay derslerini tamamlaman, bu sayfadaki her adımı çok daha sağlam kavramanı sağlar.