Binom dağılımı

Bir işlemin "oldu" ya da "olmadı" şeklinde iki sonucu olduğu denemeler tekrarlandığında, belirli sayıda başarı gelme olasılığını hesaplamamızı sağlayan dağılım binom dağılımıdır. Bu derste binom dağılımını koşulları, olasılık formülü, beklenen değeri ve bol çözümlü örnekle sıfırdan öğreneceksiniz. Olasılık konularının tamamı için İstatistik dersleri bölümümüze göz atabilirsin.

Binom Dağılımı Nedir?

Binom dağılımı, aynı koşullar altında sabit sayıda tekrarlanan bir denemede başarı sayısının olasılık dağılımıdır. Burada X, bir rastgele değişken olarak "n denemedeki başarı sayısı"nı gösterir ve 0, 1, 2, …, n değerlerini alabilir. Yani binom dağılımı kesikli bir dağılımdır: sonsuz sayıda değer almaz, yalnızca tam sayılarla ifade edilir.

Adı, (a + b)^n ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılarından gelir; formülde karşımıza çıkan kombinasyon sayıları bu açılımdaki katsayılarla aynıdır.

Binom denemesinin koşulları

Bir deneme dizisinin binom sayılabilmesi için aşağıdaki dört koşulun aynı anda sağlanması gerekir:

1. Sabit deneme sayısı: Deneyin kaç kez tekrarlanacağı (n) baştan bellidir; "olana kadar deneme" türü durumlar binom değildir.
2. İki olası sonuç: Her deneme "başarı" ya da "başarısızlık" olarak sınıflandırılır (yazı/tura, kusurlu/kusursuz, doğru/yanlış).
3. Sabit olasılık: Başarı olasılığı p, her denemede aynıdır.
4. Bağımsızlık: Bir denemenin sonucu diğerlerinin sonucunu etkilemez.

Koşullardan tek biri bozulursa binom formülü yanlış sonuç verir. Örneğin bir desteden kartı geri koymadan çekmek, her çekimde başarı olasılığını değiştirdiği için binom denemesi değildir.

Binom Olasılık Formülü

n denemeden tam olarak k tanesinin başarı olma olasılığı şu formülle hesaplanır:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)

Formülün her parçası ayrı bir soruya cevap verir:

• C(n, k): n deneme içinden hangi k denemenin başarı olacağını seçme biçim sayısıdır. "5 atıştan hangi 3'ünün yazı geleceği" sorusunun cevabı C(5, 3) = 10 farklı senaryodur.
• p^k: Seçilen k denemenin tamamının başarı olma olasılığıdır.
• (1 − p)^(n − k): Kalan n − k denemenin başarısız olma olasılığıdır.

Örnek: Dengeli bir para 5 kez atılırsa tam 3 yazı gelme olasılığı: C(5, 3) · (0,5)^3 · (0,5)^2 = 10 · (0,5)^5 = 10/32 = 0,3125.

Benzer dağılımlarla kısa karşılaştırma

• Bernoulli dağılımı: Tek denemelik (n = 1) binomun özel hâlidir.
• Binom dağılımı: Sabit sayıdaki denemede başarı sayısını inceler.
• Poisson dağılımı: Sabit bir zaman ya da alanda olayların ne sıklıkta gerçekleştiğini inceler; deneme sayısı çok büyük ve p çok küçükken binomun yerine kullanılabilir.
• Normal dağılım: Sürekli ve çan eğrisi biçimlidir; n büyüdükçe binom dağılımı normale yaklaşır.

Beklenen Değer, Varyans ve Standart Sapma

Binom dağılımında merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri kısa formüllere sahiptir:

• Beklenen değer: E(X) = n · p
• Varyans: Var(X) = n · p · (1 − p)
• Standart sapma: σ = √(n · p · (1 − p))

Beklenen değer, uzun vadedeki toplam başarı sayısı ortalamasıdır. Örneğin günlük 100 ürünün %10'u kusurlu olduğu bir üretim hattında günde ortalama 100 · 0,1 = 10 kusurlu ürün beklenir; varyans 100 · 0,1 · 0,9 = 9, standart sapma ise 3'tür. Bu, her günün tam 10 kusurlu ürünle biteceği anlamına gelmez.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Çoktan seçmeli sınavda en az bir doğru

4 şıklı 6 soruluk bir sınavda hiçbir şey bilmeyen bir öğrenci her soruyu rastgele işaretliyor (p = 0,25). En az bir doğru çıkma olasılığı nedir?

"En az bir" sorularının kısayolu P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) özdeşliğidir. P(X = 0) = C(6, 0) · (0,25)^0 · (0,75)^6 ≈ 0,178 olduğundan istenen olasılık 1 − 0,178 ≈ 0,822 bulunur. Rastgele işaretleme bile yüzde 82 ihtimalle en az bir doğru verir; "en az bir" sorularının neden popüler olduğu buradan anlaşılır.

Örnek 2: Üretim hattında kusurlu parça

Bir fabrikada rastgele seçilen bir parçanın kusurlu olma olasılığı 0,05'tir. 20 parçalık bir grubun tam ikisinin kusurlu olma olasılığı: C(20, 2) · (0,05)^2 · (0,95)^18 = 190 · 0,0025 · 0,397 ≈ 0,189. Parçalar büyük bir üretim akışından ayrı ayrı seçildiği için denemeler bağımsız kabul edilir ve p sabit kalır; dört koşul sağlandığından binom formülü uygulanabilir.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

• Bağımsızlığı sorgulamamak: Torbadan topu geri koymadan çekmek ya da desteden kartı yerine koymadan çekmek binom değildir; her denemede p değişir.
• "En az bir"i doğrudan P(1) sanmak: Doğru yol 1 − P(0) hesabıdır; P(1) yalnızca tam bir başarı olasılığını verir.
• Kombinasyonu atlamak: p^k · (1 − p)^(n − k) ifadesi yalnızca tek bir sıralamanın olasılığıdır; başarıların hangi denemelerde gerçekleşeceğini C(n, k) ile saymak zorunludur.
• Beklenen değeri kesin sonuç sanmak: E(X) = 10, günün tam 10 kusurlu ürünle biteceği anlamına gelmez; uzun dönem ortalamasıdır.
• Koşulları denemeden formüle girişmek: Deneme sayısı baştan belli değilse ya da denemeler birbirini etkiliyorsa hesap baştan yanlıştır.
• Büyük n'de formülle boğuşmak: n büyük ve p 0,5'e yakınken normal yaklaşım, n büyük ve p çok küçükken Poisson yaklaşımı pratik bir çözüm sunar.