Poisson Dağılımı

Günlük hayatta bir olayın “kaç kez” gerçekleşeceğini merak ettiğimiz pek çok durum vardır: çağrı merkezine bir saatte gelen aramalar, bir kitabın sayfasındaki yazım hataları, bir yolda günlük kaza sayısı. Bu derste tam olarak bu tür soruları modelleyen Poisson dağılımını sıfırdan işliyoruz: formülü, kullanım koşulları, adım adım örnek çözüm ve sık yapılan hatalar. Konunun temelindeki rastgele değişken kavramını henüz görmediysen önce o derse bakmanı öneririz; bu ve benzeri konuların tamamı için ise İstatistik dersleri sayfamıza göz atabilirsin.

Poisson Dağılımı Nedir?

Poisson dağılımı, sabit bir ortalama hızla ve birbirinden bağımsız olarak gerçekleşen olayların, belirli bir zaman aralığında, uzunlukta veya alanda kaç kez meydana geleceğini olasılıklarıyla veren kesikli bir olasılık dağılımıdır. Fransız matematikçi Siméon Denis Poisson tarafından 1837'de tanımlanmıştır; nadir olayların matematiksel modeli olduğu için “nadir olayların yasası” olarak da anılır. X ~ Po(λ) biçiminde gösterilir ve X yalnızca 0, 1, 2, 3, ... gibi tam sayı değerleri alır; yani Poisson dağılımı bir kesikli dağılımdır. Bir saatte ortalama 4 çağrı geliyorsa, “bu saatte tam 2 çağrı gelme olasılığı nedir?” sorusunun cevabı bu dağılımla hesaplanır.

Sınavlarda ve uygulamada sık görülen örnekler şunlardır:

• Bir çağrı merkezine birim zamanda gelen arama sayısı
• Bir üretim bandında metrekare başına kusur sayısı
• Bir hastanenin aciline günde gelen hasta sayısı
• Bir web sitesine dakikada gelen ziyaretçi sayısı
• Bir kitabın her sayfasındaki yazım hatası sayısı

Ortak nokta şudur: sayılan şey bir olayın tekrarlanma sayısıdır, tekrarlar birbirinden bağımsızdır ve olayların ortalama hızı sabittir.

Poisson Dağılımı Formülü

X ~ Po(λ) ise, ilgili aralıkta olayın tam k kez gerçekleşme olasılığı şu formülle bulunur:

P(X = k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!

Formüldeki her bir öğenin anlamı şudur:

• λ (lambda): İlgili zaman aralığında veya alanda olayın ortalama gerçekleşme sayısıdır; dağılımın tek parametresidir.
• k: Olasılığını merak ettiğimiz olay sayısıdır; 0, 1, 2, ... değerlerinden biridir.
• e: Doğal logaritmanın tabanıdır (≈ 2,718); hesap makinesinde exp (e^x) tuşuyla hesaplanır.
• k!: Faktöriyeldir; örneğin 2! = 2 × 1 = 2 ve 0! = 1'dir.

Beklenen Değer ve Varyans

Poisson dağılımını öteki dağılımlardan ayıran çarpıcı bir özellik vardır: ortalama ile varyans aynıdır.

• Beklenen değer: E(X) = λ
• Varyans: Var(X) = λ, dolayısıyla standart sapma √λ'dır.

Örneğin saatte ortalama 4 çağrı geliyorsa (λ = 4), bir saatteki çağrı sayısının varyansı da 4, standart sapması 2'dir. Uygulamada bir veri setinin ortalaması ile varyansı birbirine çok yakınsa, verinin Poisson modeline uygun olabileceği düşünülür; bu, model seçiminde pratik bir ipucudur.

Poisson Dağılımı Hangi Koşullarda Kullanılır?

Her sayma sorusu Poisson dağılımıyla çözülmez. Bir durumu Poisson modeline uygun saymak için şu koşullar sağlanmalıdır:

• Olaylar belirli bir zaman aralığında, uzunlukta, alanda veya hacimde sayılır.
• Olayın ortalama hızı sabittir: λ, aralıktan aralığa değişmez.
• Olaylar bağımsızdır: bir aramanın gelmesi, diğerinin gelip gelmesini etkilemez.
• İki olay aynı anda gerçekleşemez: her an en fazla bir olay oluşur.
• Soru, “belli sayıda denemeden kaç tanesi başarıdır?” değil, “belli bir aralıkta kaç olay olur?” sorusudur.

Deneme sayısının önceden bilindiği durumlar Binom dağılımının alanına girer. Ancak n çok büyük, p çok küçükken (örneğin 5.000 üründen her birinin %0,1 olasılıkla kusurlu olması gibi) binom hesabı zorlaşır ve Poisson dağılımı iyi bir yaklaşım verir; bu durumda λ = n × p alınır. Buna karşılık λ büyüdükçe (kabaca 10 ve üzerinde) Poisson dağılımı Normal dağılıma yaklaşır. Bu iki sınır durumu sınavlarda sıkça sorulur.

Örnek Soru Çözümü

Soru: Bir çağrı merkezine saatte ortalama 4 arama gelmektedir. Buna göre bir saat içinde (a) hiç arama gelmemesi, (b) tam 2 arama gelmesi olasılıkları kaçtır?

Çözümü adım adım yapalım:

1. Rastgele değişkeni tanımla: X = bir saatte gelen arama sayısı, yani X ~ Po(4).
2. e^(-4) değerini hesapla: e^(-4) ≈ 0,0183.
3. (a) P(X = 0) = (4^0 × e^(-4)) / 0! = e^(-4) ≈ 0,0183. Yani hiç arama gelmeme olasılığı yaklaşık %1,8'dir.
4. (b) P(X = 2) = (4^2 × e^(-4)) / 2! = (16 × 0,0183) / 2 ≈ 0,146. Yani tam 2 arama gelme olasılığı yaklaşık %14,6'dır.

Benzer mantıkla “en az bir arama gelsin” olasılığı istenirse k = 1, 2, 3, ... değerleri tek tek toplanmaz; tümleyen kullanılır: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,0183 = 0,9817. Bu kısayol sınavlarda ciddi zaman kazandırır.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

• λ'nın aralığını ölçeklemeyi unutmak: Saatte 4 çağrı biliniyorsa 30 dakika için λ = 2, 2 saat için λ = 8 alınır. Soru hangi aralığı soruyorsa λ o aralığa göre yeniden ölçeklenir.
• Poisson'ı sürekli dağılım sanmak: X burada arama sayısı gibi tam sayılar alır; Poisson kesiklidir.
• Standart sapmayı λ yazmak: Var(X) = λ iken standart sapma √λ'dır; ikisi karıştırılmamalı.
• e^(-λ) işaret hatası: Üs negatiftir ve sonuç daima 0 ile 1 arasındadır; hesap makinesinde exp tuşunu doğru kullanmak şarttır.
• Deneme sayısı aramak: Binomdan alışkanlıkla “n kaç?” sorusu sorulur; oysa Poissonda n yoktur, yalnızca ortalama λ vardır.
• λ ile k'yi karıştırmak: λ ortalama olay sayısıdır; k ise olasılığını hesapladığımız spesifik sayıdır. Yerleri değişirse sonuç yanlış çıkar.