Normal dağılım

Bu derste istatistiğin en sık karşımıza çıkan sürekli dağılımı olan normal dağılımı baştan sona işliyoruz: tanımı, özellikleri, 68-95-99.7 kuralı ve gerçek yaşam örnekleri. Dersin sonunda çan eğrisinin ne anlattığını ve olasılıkların bu eğriden nasıl okunduğunu net biçimde kavramış olacaksın. Tüm konulara ulaşmak için İstatistik dersleri sayfamıza göz atabilirsin.

Normal Dağılım Nedir?

Normal dağılım, sürekli bir rastgele değişkenin değerlerinin merkezde toplandığı, iki uca doğru incelen simetrik bir “çan eğrisi” ile modellendiği olasılık dağılımıdır. Boy uzunluğu, kilo, bir sınıfın sınav puanları ya da bir parçanın üretim ölçüleri gibi pek çok doğal ve sosyal değişken bu şekli izler: değerlerin çoğu ortalamanın çevresinde toplanır, ortalamadan uzaklaştıkça görülme sıklığı hızla azalır. Normal dağılım, kesikli ve sürekli değişken ayrımındaki sürekli değişkenler için tanımlanır; “X normal dağılıma uyar” sözü kısaltılmış biçimde X ~ N(μ, σ²) yazılır.

Eğriyi çizen yoğunluk fonksiyonu f(x) = 1 / (σ√(2π)) · e^(−(x − μ)² / (2σ²)) biçimindedir. Bu formülü ezbere kullanmanız çoğu zaman beklenmez; önemli olan şunu görmektir: formülde yalnızca iki bilinmeyen vardır, ortalama μ ve standart sapma σ. Yani normal dağılımı bu iki değer baştan sona belirler.

Normal Dağılımın Özellikleri

Normal dağılımı tanımlayan temel özellikleri maddeler hâlinde toparlayalım:

• Simetri: Eğri ortalamaya göre tam simetriktir; bu nedenle ortalama = medyan = mod olup üçü de eğrinin tepesindedir.
• Çan şekli ve kuyruklar: Tepe merkezdedir; kuyruklar iki yöne uzar ama eğri yatay eksene asla dokunmaz, yalnızca yaklaşır.
• Toplam alan 1: Eğrinin altında kalan alan 1'e eşittir; çünkü değişkenin mutlaka bir değer alması kesindir ve olasılıkların toplamı 1'dir.
• Olasılık, alandır: Sürekli değişkende tek bir noktanın olasılığı sıfırdır; olasılık ancak bir aralık için söz konusudur, örneğin P(60 < X < 80).
• İki parametre: Dağılımı yalnızca ortalama μ ve standart sapma σ belirler; μ konumu, σ yaygınlığı kontrol eder.

Ortalama ve Standart Sapma Eğriyi Nasıl Etkiler?

“Normal dağılım” tek bir eğri değildir; μ ve σ'ya göre şekillenen sonsuz sayıda eğriden oluşan bir ailedir. İkisinin görevini ayırmak, eğri okumanın ilk adımıdır:

• Ortalama (μ) eğriyi kaydırır: μ artınca eğri sağa, azalınca sola kayar; şekli hiç değişmez. Ortalaması 170 cm ve 180 cm olan iki boy dağılımı, birebir aynı çan biçiminde yalnızca farklı merkezlerde durur.
• Standart sapma (σ) eğriyi daraltır ya da genişletir: σ küçükse veriler ortalamaya sıkışır ve eğri dar-yüksek olur; σ büyükse veriler yayılır ve eğri geniş-basık olur. Ölçüleri 2 mm oynayan bir üretim hattı, 10 mm oynayan bir hattın eğrisinden çok daha sivridir.

Bu yüzden ortalaması aynı ama standart sapması farklı iki veri kümesi bambaşka davranır: birincide uç değerler nadirken, ikincisinde sık görülür.

68-95-99.7 Kuralı ile Eğriyi Okumak

Normal dağılımda gözlemlerin ne kadarının hangi aralığa düştüğü, standart sapma birimleriyle yaklaşık olarak bilinir. Buna empirik kural ya da 68-95-99.7 kuralı denir:

• Gözlemlerin yaklaşık %68'i ortalamanın 1 standart sapma çevresindedir: (μ − σ, μ + σ).
• Yaklaşık %95'i 2 standart sapma içindedir: (μ − 2σ, μ + 2σ).
• Yaklaşık %99,7'si 3 standart sapma içindedir: (μ − 3σ, μ + 3σ).

Somutlaştıralım: Bir sınıftaki sınav puanları ortalaması μ = 70 ve standart sapması σ = 10 ile normal dağılıyor olsun.

• 60-80 aralığı: öğrencilerin yaklaşık %68'i bu bandın içindedir.
• 50-90 aralığı: yaklaşık %95.
• 40-100 aralığı: yaklaşık %99,7; yani 40'ın altında ya da 100'ün üstünde puan almak son derece nadirdir.

Simetri daha ince bilgiler de verir: %68'in yarısı her bir yanda olduğundan, ortalama ile 80 arasındaki bölge %34'lük yer tutar. Buna göre 80'in üzerinde kalan kısım 50 − 34 = %16'dır. 80-90 bandı ise %16 − %2,5 = %13,5 olur; çünkü 2σ sınırının ötesinde toplam %5, yani her bir yanda %2,5 kalır.

Peki 60-72 gibi bu bantlarla tam örtüşmeyen aralıkların olasılığı nasıl bulunur? Genel ilke şudur: bir aralığın olasılığı, eğrinin o aralık altında kalan alanına eşittir. Çan eğrisinin altındaki alan basit bir formülle hesaplanamadığından, pratikte her normal dağılım önce ortalaması 0, standart sapması 1 olan özel dağılıma dönüştürülür ve tablolardan yararlanılır. Bu dönüşümün adımlarını standart normal dağılım ve Z skoru derslerimizde ayrıntısıyla işliyoruz.

Gerçek Yaşamda Normal Dağılım: Neden Bu Kadar Yaygın?

Boy, kilo, ölçüm hataları, üretim toleransları, tekrar yapılan fiziksel ölçümlerin sonuçları… Bu tür verilerde normal desenin görülmesinin nedeni, ilgili özelliğin çoğu zaman çok sayıda küçük ve bağımsız etkinin toplamı biçiminde oluşmasıdır. Bir kimsenin boyu; genetik, beslenme ve hormonlar gibi onlarca etkinin bileşkesidir ve bu bileşke merkezde toplanır. Bunun matematiksel gerekçesi merkezi limit teoremi'dir: bağımsız etkiler toplandıkça sonuç, bileşenlerin dağılımı ne olursa olsun normale yaklaşır. Aynı nedenle, örneklemlerden hesaplanan ortalamaların dağılımı da büyüyen örneklemle normale yaklaşır; bu bağlantı örnekleme dağılımı dersinde kurulur.

Normal dağılımın sürekli bir model olduğunu unutmayın. Hata sayısı gibi “defa sayma” problemlerinde kullanılan binom dağılımı ile nadir olayların sayısını modelleyen Poisson dağılımı kesikli dağılımlardır; olasılıkları çubuk benzeri kütlelerden değil, sürekli bir eğrinin altındaki alandan okunan dağılım normal olandır. Öte yandan örneklem büyüdükçe binom dağılımının normale yakınsaması, iki dünya arasındaki köprüyü kurar.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

Normal dağılım çalışırken en sık karşılaşılan hataları şöyle sıralayabiliriz:

1. “Normal” sözcüğüne yanlış anlam yüklemek: Normal dağılım “olağan, beklenen” demek değildir; matematiksel bir modelin adıdır. Gelir dağılımı gibi veriler sağa çarpıktır ve normal modelle iyi açıklanmaz.
2. Ortalamayı tek başına yeterli saymak: Aynı ortalamaya sahip iki sınıftan standart sapması küçük olanın puanları birbirine benzerken, büyük olanın puanları uçlara yayılır; merkezle birlikte yaygınlığı da bildirmek gerekir.
3. %68'i %100 sanmak: μ ± σ aralığı gözlemlerin tamamını değil, yaklaşık üçte ikisini kapsar; kalan üçte bir bu aralığın dışındadır ve bu, verinin hatalı olduğu anlamına gelmez.
4. Tek bir değere olasılık atamak: Sürekli dağılımda “boyun tam olarak 170 cm olma olasılığı” sıfırdır; anlamlı olan aralıktır ve aralık genişledikçe olasılık büyür.
5. Çarpık veriye normal kuralları uygulamak: Ortalama ile medyan belirgin biçimde ayrışıyorsa simetri şüphelidir; böyle veride %68 gibi oranları körlemesine kullanmak yanıltıcı sonuç verir.
6. Kuyruğun bittiğini düşünmek: Eğri eksene değmez; teoride ortalamanın 3σ ve ötesindeki değerlerin de çok küçük de olsa olasılığı vardır.