Z Skoru

Bu derste olasılık dağılımları serisinin en sık kullanılan araçlarından biri olan Z skorunu sıfırdan işliyoruz: ne olduğunu, formülünü, adım adım hesaplanışını, yorumlanmasını ve sık yapılan hataları örneklerle ele alıyoruz. Serinin tamamına İstatistik dersleri sayfasından ulaşabilirsin.

Z Skoru Nedir?

Z skoru (standart skor), bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösteren sayıdır. Amacı, farklı ortalama ve standart sapmaya sahip veri kümelerini ortak bir ölçeğe taşıyarak karşılaştırılabilir hâle getirmektir. Bir rastgele değişkenin aldığı herhangi bir x değeri, bu standartlaştırma işlemiyle z değerine dönüşür.

Somutlaşmak için: bir sınavdan aldığın 70 puan tek başına fazla bir şey söylemez. Sınıf ortalaması 55 ise bu iyi bir puandır, 75 ise zayıf bir puandır. Z skoru, puanı sınıfın genel dağılımına göre konumlandırıp bu karşılaştırmayı tek bir sayıyla yapar.

Z Skoru Formülü

Formül kısadır ama her terimi tek tek bilmek gerekir:

z = (x − μ) / σ

• x: standartlaştırılacak ham değer (sınav puanı, boy, ağırlık vb.)
• μ: popülasyonun ortalaması
• σ: popülasyonun standart sapması

Mantık iki adımdır: Önce değerin ortalamadan sapması hesaplanır (x − μ); sonra bu sapma standart sapmaya bölünerek "kaç standart sapmalık sapma?" sorusuna sayısal yanıt verilir. Sonuç birimden arınmıştır: değer puan, santimetre ya da kilogram olsun fark etmez; hepsi aynı standart ölçekte okunur.

Z Skoru Nasıl Hesaplanır? Adım Adım Örnek

Bir öğrenci matematik sınavından 85, tarih sınavından 70 almış olsun. İki sınavın güçlüğü farklı olduğu için ham puanları doğrudan karşılaştırmak yanıltıcıdır. Dağılımlar şöyle olsun:

• Matematik: ortalama μ = 80, standart sapma σ = 5
• Tarih: ortalama μ = 55, standart sapma σ = 10

Matematik için z = (85 − 80) / 5 = 1,0; tarih için z = (70 − 55) / 10 = 1,5 bulunur. Ham puanı daha düşük olan tarih sınavı aslında daha başarılı bir sonuçtur; çünkü sınıf ortalamasının 1,5 standart sapma üstündedir, matematik ise yalnızca 1 standart sapma üstündedir.

Bir de negatif sonuçlu örnek: boyların ortalaması 170 cm ve standart sapması 6 cm olan bir grupta 158 cm boy için z = (158 − 170) / 6 = −2 olur. Değer, ortalamanın 2 standart sapma altındadır.

Z Skoru Nasıl Yorumlanır?

• z = 0 ise değer tam ortalamadadır.
• z > 0 ise değer ortalamanın üstündedir; z büyüdükçe ortalamadan yukarıda uzaklaşır.
• z < 0 ise değer ortalamanın altındadır.
• |z| büyükse (genellikle 2'den fazla) gözlem sıra dışıdır; normal dağılıma yakın verilerde değerlerin yaklaşık %95'i ortalamanın ±2 standart sapma aralığında kalır.

Z skorunun pratik gücü, aykırı değerleri yakalamasıdır. |z| değeri 3'ü aşan gözlemler normal dağılıma yakın kümelerde çok nadirdir; böyle bir değerle karşılaşınca ya gerçekten istisnai bir durum vardır ya da ölçüm ya da veri giriş hatası söz konusu olabilir.

Z Skoru ile Standart Normal Dağılım İlişkisi

Normal dağılıma uyduğunu bildiğimiz bir değişkenin tüm x değerlerini z'ye çevirdiğimizde, ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan standart normal dağılım elde edilir. Bu dönüşüm sayesinde her normal dağılımla ilgili olasılık sorusu tek bir tablo üzerinden çözülebilir: z değerini tabloda bulur, karşılık gelen olasılığı okursun.

Aynı mantık örneklemlere de genellenir. Bir örnekleme dağılımını standartlaştırırken payda σ/√n olur; çünkü örneklem ortalamasının standart sapması, popülasyonun standart sapmasının karekök n'ye bölünmüş hâlidir. Bunun neden böyle çalıştığını merkezi limit teoremi dersi ayrıntılı biçimde açıklar.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

• Ortalamayı çıkarmayı atlamak: x değerini doğrudan σ'ya bölmek en yaygın hatadır. Formül daima sapmayla başlar; önce x − μ hesaplanır.
• "Negatif z, verinin kendisi de negatiftir" sanmak: z'nin işareti değerin işaretini değil, ortalamaya göre konumunu gösterir. 158 cm gibi pozitif bir boyun z skoru negatif olabilir.
• z'yi doğrudan yüzde olarak okumak: z = 1,5, "%150" ya da "%15" demek değildir. Yüzdelik dilime ve olasılığa ulaşmak için standart normal dağılım tablosu kullanılır.
• Her veri için tabloyu kullanmak: Standartlaştırma her veri kümesine uygulanabilir; ancak z değerini olasılığa çevirmek için verinin yaklaşık normal dağılması gerekir. Çarpık dağılımlarda tablo yorumu yanıltır.
• σ ile s'yi karıştırmak: Popülasyonun standart sapması bilinmiyorsa ve örneklem standart sapması (s) kullanılıyorsa, küçük örneklemde z yerine t dağılımına geçilir.