Korelasyon katsayısı

Bu derste iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü tek bir sayı ile özetleyen korelasyon katsayısını baştan sona işliyoruz: formülünü, adım adım çözümlü bir örnekle hesabını ve yorumlanma kurallarını ele alıyoruz. Kavramın genel çerçevesini Korelasyon nedir? dersinde kurmuştuk; bu ders o tabanın üzerine inşa edilir. İstatistik alanındaki diğer konulara göz atmak isterseniz İstatistik dersleri sayfamızdan devam edebilirsiniz.

Korelasyon Katsayısı Nedir?

Korelasyon katsayısı, iki sayısal değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü −1 ile +1 arasında bir değerle ifade eden standartlaştırılmış bir ölçüdür. En yaygın kullanılan türü Pearson korelasyon katsayısıdır ve genellikle r ile gösterilir; kaynaklarda "Pearson çarpım-moment korelasyonu" ya da kısaca "r" olarak da geçer, hepsi aynı kavramdır.

r'nin üç temel özelliğini baştan bilmek hem hesabı hem de yorumu kolaylaştırır:

• Sınır: r her zaman −1 ile +1 arasındadır. r = +1 tam (mükemmel) pozitif, r = −1 tam negatif ilişki demektir; r = 0 ise iki değişken arasında ölçülebilir bir doğrusal ilişki bulunmadığını gösterir.
• İşaret yönü, büyüklük gücü verir: Artı işareti değişkenlerin birlikte arttığını, eksi işareti birinin artarken diğerinin azaldığını söyler; sayının büyüklüğü ise ilişkinin ne kadar sıkı olduğunu belirtir.
• Birimsizdir: Ölçüler kg, cm, TL ya da puan cinsinden olsun, r aynı çıkar. Bu yüzden birbirinden tamamen farklı birimlerdeki değişken çiftleri bile r üzerinden karşılaştırılabilir; ayrıca değişkenlerin yerleri değişse (x ile y takas edilse) r değişmez.

Korelasyon Katsayısı Nasıl Hesaplanır?

Pearson korelasyon katsayısı, iki değişkenin kendi ortalamalarından sapmalarının çapraz çarpımına dayanır. Formülü şöyledir:

r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √[ Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)² ]

Burada x̄ x'in, ȳ y'nin aritmetik ortalaması; Σ ise toplama işaretidir. Pay, sapma çarpımlarının toplamı; payda ise iki sapma kareleri toplamının çarpımının kareköküdür. Hesabı beş adımda yürütebilirsiniz:

1. Her iki değişkenin ortalamasını bulun: x̄ ve ȳ.
2. Her gözlem için ortalamadan sapmaları hesaplayın: (x − x̄) ve (y − ȳ).
3. Sapma çarpımlarını (x − x̄)(y − ȳ) hesaplayıp toplayın; elde ettiğiniz değer paydır.
4. Her iki değişken için sapma karelerini toplayın, iki toplamı çarpıp karekökünü alın; bu değer paydadır.
5. Payı paydaya bölün; sonuç r'dir.

Çözümlü Örnek

Beş öğrencinin günlük ders çalışma saati (x) ve sınav puanı (y) şöyle olsun: x = 1, 2, 3, 4, 5 ve y = 45, 55, 50, 70, 80. Ortalamalar x̄ = 3 ve ȳ = 60 olur. Ortalamadan sapmalar x için −2, −1, 0, +1, +2; y için −15, −5, −10, +10, +20 şeklindedir. Sapma çarpımları sırayla 30, 5, 0, 10, 40 eder ve toplamları 85'tir. Sapma kareleri toplamları ise Σ(x − x̄)² = 10 ve Σ(y − ȳ)² = 850'dir. Formüle yerleştirirsek:

r = 85 / √(10 × 850) = 85 / √8500 ≈ 85 / 92,2 ≈ +0,92

Sonuca göre çalışma süresi ile sınav puanı arasında çok güçlü bir pozitif doğrusal ilişki vardır: ders çalışma saati arttıkça sınav puanı da belirgin biçimde artma eğilimindedir.

Korelasyon Katsayısı Nasıl Yorumlanır?

Yorum iki soruya dayanır: işaret ne söylüyor ve mutlak değer ne kadar büyük. İşaret yönü anlatır: r > 0 pozitif (aynı yönlü), r < 0 negatif (ters yönlü) ilişki demektir; bu ayrımın ayrıntılarını Pozitif ve negatif korelasyon dersinde bulabilirsiniz. Mutlak değer ise gücü anlatır: |r| büyüdükçe veri noktaları bir doğru çevresinde daha sıkı toplanır, küçüldükçe dağılım seyrekleşir. Gücü sınıflandırmak için ders kitaplarında sık kullanılan şu aralıklar yol göstericidir:

• 0,00 – 0,19: çok zayıf, yok denecek düzeyde
• 0,20 – 0,39: zayıf
• 0,40 – 0,59: orta düzeyde
• 0,60 – 0,79: güçlü
• 0,80 – 1,00: çok güçlü

Bu bantlar evrensel bir yasa değil, gelenekselleşmiş bir rehberdir; eşikler alana, amaca ve örneklem büyüklüğüne göre değişebilir. Küçük örneklemlerde hesaplanan bir r şans eseri de büyük çıkabilir: 20 kişilik bir grupta bulunan r = +0,40 ile 2.000 kişilik bir grupta bulunan r = +0,40 aynı güvenilirlikte değildir. Bu yüzden r'nin "anlamlı" sayılıp sayılamayacağı bir hipotez testiyle denetlenir; test mantığının çerçevesini Hipotez nedir? ve Sıfır hipotezi derslerinde bulursunuz.

Korelasyon katsayısı ayrıca doğrusal regresyonla el ele yürür: Doğrusal regresyon ile kurulan tahmin doğrusunun eğiminin işareti daima r'nin işaretiyle aynıdır ve bu doğrunun denklemi Regresyon denklemi dersinin konusudur. Bir değişkendeki değişkenliğin yüzde kaçının diğer değişkenle "açıklandığını" merak ediyorsanız korelasyonun karesine, yani R-kare değerine bakarsınız.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

r'yi hesaplarken ve yorumlarken en çok düşülen tuzaklar şunlardır; her birini bir cümlelik düzeltme notuyla veriyoruz:

1. "Korelasyon varsa neden-sonuç da vardır." r birlikte hareket edişi ölçer, nedensellik kurmaz; bu sorunun tamamı Korelasyon nedensellik midir? dersinde işlenir.
2. r ≈ 0 buldum, demek ki ilişki yok. r yalnızca doğrusal ilişkiyi ölçer; U biçimli gibi eğrisel ilişkilerde r sıfıra yakın çıkabilir. Sayısal hesaptan önce saçılım grafiğine bakmak bu tuzağı çoğu zaman ortaya çıkarır.
3. İşareti güç sanmak. r = −0,80, r = +0,50'den daha güçlü bir ilişkidir; eksi işaret zayıflık değil, ters yön demektir.
4. Uç (aykırı) değerleri hesaba katmamak. Tek bir uç gözlem bile r'yi belirgin biçimde büyütebilir ya da küçültebilir; grafik üzerinden aykırı değerleri incelemek gerekir.
5. Birimlerin sonucu etkilediğini düşünmek. Boyu santimetre yerine metre yazmak r'yi değiştirmez; katsayı standartlaştırıldığı için ölçü biriminden bağımsızdır.
6. r ile r²'yi karıştırmak. r = 0,60 iken açıklanan oran %60 değil, r² = 0,36 yani %36'dır.