Çelişki

Bu derste mantığın temel kavramlarından çelişkiyi baştan sona işliyoruz: tanımını, doğruluk tablosundaki karşılığını, farklı yapılardaki örneklerini ve sınavlarda sık karıştırılan kavram farklarını. Konuyu tam anlamıyla kavramak için doğruluk tablosu nedir? dersini önceden görmüş olmanız avantaj sağlar; ünitenin tamamına Mantık dersleri bölümünden ulaşabilirsiniz.

Çelişki Nedir?

Çelişki, her türlü değerlendirme durumunda yanlış olan bileşik önermedir. Önermeyi oluşturan basit önermelere hangi doğruluk değerlerini verirsek verelim, doğruluk tablosunun son sütununda yalnızca Y (yanlış) değeri çıkar. Çelişkinin klasik örneği, bir önerme ile kendi olumsuzlamasının "ve" bağlacıyla birleştirilmesidir: p ∧ ¬p. Çelişki bir bileşik önermeler türü olduğu için incelemesi her zaman doğruluk tablosu üzerinden yapılır.

Günlük dilden bir örnekle düşünelim: "Yağmur yağıyor ve yağmur yağmıyor." Bu cümle hangi durumda doğru olabilir? Yağmur yağıyorsa ikinci kısım, yağmıyorsa birinci kısım yanlış düşer; cümlenin tamamı hiçbir koşulda doğru olamaz. Buradaki yanlışlık cümlenin içeriğinden değil, biçiminden kaynaklanır: p ∧ ¬p biçimindeki her önerme, p'nin yerine hangi önerme konursa konulsun yanlıştır.

p ∧ ¬p Örneğinin Tablosu

Tabloda yalnızca p değişkeni bulunduğu için iki satır kurmak yeterlidir:

• p = D iken ¬p = Y olur; "D ve Y" yanlıştır, öyleyse p ∧ ¬p = Y.
• p = Y iken ¬p = D olur; "Y ve D" yine yanlıştır, öyleyse p ∧ ¬p = Y.

İki satır da Y ile bittiği için p ∧ ¬p bir çelişkidir. "Ve" bağlacının yalnızca iki tarafı da doğruyken doğru olduğunu hatırlarsak sonuca hızlı ulaşırız: iki tarafın aynı anda doğru olması mümkün olmadığı için önermenin doğru çıkması da mümkün değildir.

Farklı Yapılarda Çelişki Örnekleri

Her çelişki ilk bakışta p ∧ ¬p gibi görünmez; son sütunu tamamen Y olan her bileşik önerme çelişkidir. Aşağıdaki örnekleri tek tek doğruluk tablosuna vurarak kontrol etmenizi öneririz:

1. (p ↔ ¬p): p = D iken ¬p = Y olur ve "D ↔ Y" = Y çıkar; p = Y iken ¬p = D olur ve "Y ↔ D" = Y çıkar. Bir önerme kendi değiliyle "ancak ve ancak" bağıyla kurulamaz; iki satır da Y ile biter.
2. (p ∨ q) ∧ ¬p ∧ ¬q: "p veya q'dan en az biri doğrudur" diyen kısım ile "ne p ne q doğrudur" diyen kısım aynı anda doğru olamaz; bu yüzden önerme her satırda yanlış çıkar.
3. (p → q) ∧ p ∧ ¬q: p → q ile p'nin doğru olduğu durumlarda q'nun da doğru olması gerekir; ¬q bu sonucu inkâr eder. Tablonun dört satırının tamamı Y çıkar.

Çelişkileri sadeleştirirken mantıksal eşdeğerlik kurallarından yararlanılır. Örneğin De Morgan kuralına göre ¬(p ∧ ¬p) ≡ p ∨ ¬p eşdeğerliği yazılabilir; yani çelişkinin olumsuzlaması doğrudan bir tautolojiye dönüşür.

Çelişki, Tautoloji ve Aradaki Önermeler

Her bileşik önerme, doğruluk tablosunun son sütununa göre üç gruptan birine yerleşir:

• Tautoloji: Son sütunda yalnızca D vardır; önerme her durumda doğrudur. Klasik örneği p ∨ ¬p biçimidir.
• Çelişki: Son sütunda yalnızca Y vardır; önerme her durumda yanlıştır. Klasik örneği p ∧ ¬p biçimidir.
• Ne tautoloji ne çelişki: Son sütunda hem D hem Y vardır; önerme bazen doğru bazen yanlış çıkar. p → q ile p ∧ q bu gruba girer.

İki kavram birbirinin aynadaki yüzüdür: bir önermenin olumsuzlaması tautoloji ise önermenin kendisi çelişki; olumsuzlaması çelişki ise kendisi tautolojidir. Örneğin p ∧ ¬p çelişkisinin değili olan p ∨ ¬p bir tautolojidir. Tautoloji kavramının ayrıntılı işlendiği derse Tautoloji başlığından ulaşabilirsiniz.

İki Önermenin Çelişmesi: Çelişen Önermeler

Çelişkiyi şimdiye kadar tek bir bileşik önerme için tanımladık. Sorularda "iki önerme çelişir" ifadesiyle karşılaşıldığında kastedilen ilişki şudur: p ile q önermeleri, her koşulda biri doğruyken diğerinin yanlış olması durumunda çelişir; yani q, ¬p'ye eşdeğerdir (q ≡ ¬p). Böyle önermelere çelişen önermeler denir. "Tüm öğrenciler sınıftadır" ile "Bazı öğrenciler sınıfta değildir" önermeleri çelişir: ikisi birden doğru olamadığı gibi ikisi birden yanlış da olamaz.

Dikkat: çelişen önermeler ile karşıt önermeler aynı şey değildir. "Tüm öğrenciler sınıftadır" ile "Hiçbir öğrenci sınıfta değildir" önermeleri aynı anda doğru olamaz; ama sınıfta bir kısım öğrenci bulunduğunda ikisi birden yanlış olabilir. İkisi birden yanlış çıkabilen önerme çiftleri çelişki sayılmaz.

Saçmaya Çıkarma: Çelişkinin İspatta Kullanımı

Çelişkinin en güçlü kullanım alanı, matematikte saçmaya çıkarma (reductio ad absurdum) denen ispat yöntemidir. Yöntem dört adımda işler:

1. İspatlanmak istenen p önermesi yerine, onun olumsuzlaması olan ¬p varsayılır.
2. ¬p varsayımından hareketle adım adım yeni sonuçlar çıkarılır.
3. Elde edilen sonuçlar, önceden doğru bildiğimiz bir bilgiyle ya da birbirleriyle çelişir; yani q ∧ ¬q biçiminde bir çelişkiye ulaşılır.
4. Çelişki her durumda yanlış olduğuna göre baştaki ¬p varsayımı yanlıştır; öyleyse p doğrudur.

Örnek: √2'nin irrasyonel olduğunu ispatlarken √2 = a/b varsayılır ve bu kesrin sadeleşmiş olduğu kabul edilir. Varsayımdan a ile b'nin ikisinin de 2 ile bölünebildiği çıkar; o hâlde kesir sadeleşmemiştir. "Sadeleşmiştir" ile "sadeleşmemiştir" yargıları aynı anda doğru olamayacağı için varsayım çöker. Bu yöntem, öncüllerden sonuçlara güvenle ilerleyen tümdengelim akıl yürütmesinin özel bir uygulamasıdır.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

Aşağıdaki yanılgılar, çelişki sorularında en çok puan kaybettiren durumlardır:

• "p ∨ ¬p çelişkidir" demek: Tam tersi doğrudur. "Veya" ile kurulan p ∨ ¬p her durumda doğru çıkar ve tautolojidir; çelişki "ve" ile kurulan p ∧ ¬p biçimidir.
• Yanlış bir önermeyi çelişki sanmak: "2, 3'ten büyüktür" önermesi yanlıştır ama çelişki değildir; çelişki tanımı, bileşik bir önermenin tüm değerlendirme durumlarında yanlış olmasını ister.
• Yalnızca p ∧ ¬p biçimini çelişki saymak: (p ↔ ¬p) ile (p ∨ q) ∧ ¬p ∧ ¬q gibi ilk bakışta farklı görünen önermeler de son sütunu tümüyle Y olduğu için çelişkidir.
• Tablonun tamamına bakmadan karar vermek: Çelişki hükmü, son sütunun tüm satırlarının Y olması hâlinde verilir; birkaç satırda Y çıkmış olması yetmez.
• Çelişen ile karşıt önermeyi karıştırmak: Çelişen önermelerde ikisi birden doğru da yanlış da olamaz; karşıt önermelerde ikisi birden doğru olamaz ama ikisi birden yanlış olabilir.
• Günlük dildeki çelişkiyi teknik tanımla karıştırmak: Günlük konuşmada tutarsız söz ve davranışlar "çelişki" diye adlandırılır; mantıkta çelişki, doğruluk tablosuyla tanımlanan bir önerme türüdür.