Bileşik Önermeler

Mantıkta düşünceyi tek cümlede tam olarak ifade etmek için çoğu zaman birden fazla yargıyı birbirine bağlarız; bu bağlama işleminin sonucunda bileşik önermeler ortaya çıkar. Bu derste bileşik önermenin ne olduğunu, onu kuran beş temel mantıksal bağlacı, sembolleştirmeyi ve öğrencilerin en sık yaptığı hataları somut örneklerle işliyoruz. Konuya yeni başlıyorsanız önce Basit önermeler dersine bakmanızı, serinin bütününe ise Mantık dersleri sayfasından ulaşmanızı öneririz.

Bileşik Önerme Nedir?

Bileşik önerme, basit önermelerin mantıksal bağlaçlarla (değilleme dahil) birleştirilmesiyle oluşan önermedir; değilleme tek basit önermeyi de bileşik yapar. Basit önerme tek bir yargı bildirir; bileşik önerme birden çok yargıyı tek cümlede toplar. Bu yüzden bileşik önermenin doğru ya da yanlış olması kendi başına belirlenmez: içindeki basit önermelerin doğruluk durumuna ve kullanılan bağlacın kuralına bakılır.

Karşılaştıralım: '2 çift sayıdır' tek bir yargı bildirdiği için basit önermedir. '2 çift sayıdır ve 5 tek sayıdır' cümlesinde ise iki ayrı yargı 've' bağlacıyla birleşmiştir; bu cümle bileşik önermedir. 'Hafta sonu sinemaya giderim veya kitap okurum' ile 'Ders çalışırsan sınavı geçersin' cümleleri de aynı nedenden ötürü bileşiktir.

Mantıksal Bağlaçlar

Bileşik önermelerin iskeletini beş temel bağlaç kurar. Her birini kendi doğruluk kuralıyla birlikte görelim.

1. Olumsuzlama: 'değil' (~ veya ¬)

Olumsuzlama, tek bir basit önermeyi bile bileşik önermeye dönüştürür. p: '7 asal sayıdır' ise ~p: '7 asal sayı değildir' olur. p doğruysa ~p yanlış, p yanlışsa ~p doğrudur; yani olumsuzlama doğruluk değerini ters çevirir.

2. Birleşim: 've' (∧)

p ve q önermelerinin 've' ile birleşimi p ∧ q biçiminde gösterilir. Birleşimin doğru olması için her iki yargının da doğru olması gerekir; bileşenlerden biri bile yanlışsa p ∧ q yanlış olur. Örnek: 'Ali sabah koşuya çıktı ve akşam kitap okudu.'

3. Ayrılım: 'veya' (∨)

'Veya' bağlacıyla kurulan p ∨ q, yargılardan en az biri doğruysa doğrudur; yalnızca ikisi de yanlışken yanlıştır. Örnek: 'Bu akşam film izleriz veya oyun oynarız.' Dikkat: mantıktaki 'veya' kapsayıcıdır; iki yargı da doğruyken p ∨ q yine doğru kabul edilir.

4. Koşullu önerme: 'ise' (→)

p → q biçiminde gösterilen koşullu önermede p'ye ön tümce (koşul), q'ya arka tümce (sonuç) denir. 'Dersini çalışırsan sınavı geçersin' cümlesi bu yapıya örnektir. p → q yalnızca ön tümce doğru, arka tümce yanlışken yanlıştır; ön tümce yanlışken bileşik önerme doğru kabul edilir.

5. İki koşullu önerme: 'ancak ve ancak' (↔)

p ↔ q ile gösterilen iki koşullu önerme, iki yargının doğruluk değerleri aynıysa doğrudur, farklıysa yanlıştır. Örnek: 'Bir sayı 3 ile tam bölünür ancak ve ancak rakamları toplamı 3'ün katıdır.'

Bileşik Önermelerin Sembolleştirilmesi

Sembolleştirme, uzun cümleleri kısa ve üzerinde işlem yapılabilir biçime indirger. Basit önermeler p, q, r gibi harflerle, bağlaçlar da yukarıdaki simgelerle yazılır:

• 'Deniz yüzme bilir ve Dağ satranç oynar.' → p ∧ q
• 'Yağmur yağarsa piknik iptal olur.' → p → q
• '5 asal sayı değildir.' → ~p (p: '5 asal sayıdır')
• 'Zil çaldı veya teneffüs başladı.' → p ∨ q

Sembolleştirmede sıralama da önemlidir: 'Ders çalışırsan başarılı olursun' cümlesinde koşul öndedir; bu cümleyi q → p biçiminde yazmak anlamını değiştirir.

Bileşik Önermenin Doğruluk Değeri Nasıl Belirlenir?

Üç adım yeterlidir: bileşenleri sembolleştir, her basit önermenin doğru/yanlış durumunu belirle, bağlacın kuralını uygula. Örneğin '2 çift sayıdır ve 3 asaldır' önermesinde her iki yargı da doğru olduğu için birleşim doğrudur; '2 çift sayıdır ve 5 çift sayıdır' önermesinde ise ikinci yargı yanlış olduğu için birleşim yanlıştır.

Bütün olasılıkları düzenli biçimde sıralamanın yolu doğruluk tablosudur; tabloların nasıl kurulduğunu Doğruluk tablosu nedir? dersinde ayrıntısıyla işliyoruz. Ayrıca bazı bileşik önermeler bileşenlerin değeri ne olursa olsun hep doğru, bazıları ise hep yanlış çıkar; bunlar sırasıyla Tautoloji ve Çelişki derslerinin konusudur. İki bileşik önermenin her durumda aynı değeri alması ise Mantıksal eşdeğerlik dersinde ele alınır.

Basit mi, Bileşik mi? Ayrım İpuçları

• Cümle tek bir yargı bildiriyorsa basit, bağlaçla birleşmiş birden çok yargı bildiriyorsa bileşiktir.
• İçinde 'ile/ve' geçen her cümle bileşik değildir: 'Ayşe ile Ali kardeştir' tek yargı bildirdiği için basittir; 'Ayşe öğrencidir ve Ali askerdir' ise bileşiktir.
• Olumsuz cümleleri basit sanmayın: '2 tek sayı değildir' cümlesi 'değil' bağlacını taşıdığı için bileşik önerme sayılır.
• 'ise', 'veya', 'ancak ve ancak' ifadelerini gördüğünüzde cümlede en az iki ayrı yargı olup olmadığını kontrol edin; varsa önerme bileşiktir.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

1. İçinde 've' geçen her cümleyi bileşik sanmak: Yargı birleşimi yoksa bileşiklik de yoktur; 'Ali ile Veli kardeştir' basit önermedir.
2. 'Veya'yı dar kapsamlı okumak: p ∨ q için 'ikisinden biri gerçekleşir' düşüncesi eksiktir; iki yargı da doğruyken ayrılım yine doğrudur.
3. Koşullu önermeyi ters çevirmek: p → q ile q → p farklı önermelerdir. 'Yağmur yağarsa zemin ıslanır' cümlesi, 'Zemin ıslanırsa yağmur yağar' anlamına gelmez.
4. Olumsuz önermeyi basit saymak: 'değil' bir bağlaçtır; olumsuz cümleler bileşik önermeler içinde incelenir.
5. Bağlaç kuralını hissiyata göre seçmek: 've' ile 'veya'nın doğruluk kuralları farklıdır; kararı cümle hissiyle değil, bağlacın tanımıyla verin.

Özetle bileşik önerme, basit yargıların bağlaçlarla birleşmesinden doğar; bağlacı ve kuralını tanıdığınız an cümlenin doğruluk davranışını da kestirebilir hâle gelirsiniz. Sıradaki adım olarak doğruluk tablolarını kurmayı öğrenmenizi öneririz.