Sonuçların İstatistiksel Analizi

Kuantum devresini aynı komutla on kez çalıştırdığında on farklı sonuç görürsün; bu rastgelelik bir arıza değil, ölçümün doğasıdır. Bu derste ölçüm sonuçlarını teorik olasılıklarla karşılaştırmayı, frekansların güvenilirliğini standart hatayla ölçmeyi ve “bu sonuç teoriyle uyumlu mu?” sorusuna sayısal ölçütlerle yanıt vermeyi öğreneceksin. Serinin tamamı için Kuantum Hesaplama dersleri sayfasına bakabilirsin.

Ölçüm Neden Rastgeledir?

Önceki derslerde gördüğün gibi ölçüm anından önce kübit α|0⟩ + β|1⟩ süperpozisyonundadır. Born kuralına göre ölçüm, |α|² olasılıkla 0, |β|² olasılıkla 1 verir; normalizasyon şartı |α|² + |β|² = 1’dir. Ölçüm süperpozisyonu tek bir sonuca çökerttiği için tek bir çalıştırmanın (tek bir shotun) olasılık hakkında neredeyse hiç bilgisi yoktur: 1 görmek, |1⟩’in olasılığının yüksek olduğunu göstermez; yalnızca o denemede çıktığını söyler.

İstatistiksel analiz, ancak çok sayıda bağımsız denemenin toplamında anlam kazanır. Burada iki farklı dünya vardır: Statevector Simülasyonu dersindeki kesin yöntem genlikleri doğrudan hesaplar ve hiç örnekleme hatası içermez; Shot Tabanlı Simülasyon dersindeki yöntem ise gerçek cihazı taklit edip her seferinde ayrı örnek çektiği için frekanslara örnekleme gürültüsü ekler. Bu derste işlediğimiz tüm araçlar ikinci dünyaya aittir.

Frekans ile Olasılık Arasındaki Fark

Shot tabanlı çalıştırmanın çıktısı frekanstır: k kez görülen bir sonucun göreli frekansı p̂ = k/N formülüyle bulunur. Somut örnek: 2 kübitlik Bell durumunu |Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2 olarak hazırlayıp N = 1024 shot attın ve “00” 516 kez çıktı. Göreli frekans p̂ = 516/1024 ≈ 0,504’tür. Teorik olasılık ise tam olarak 0,5’tir, çünkü |00⟩ bileşeninin genliği 1/√2’dir ve karesi 1/2 eder. Frekans ölçtüğün şey, olasılık teorinin öngördüğü şeydir; ikisinin birebir eşleşmemesi hata işareti değildir.

Sayımın dağılımını binom dağılımı verir: N bağımsız shotta tam k kez görmek olasılığı P(k) = C(N,k) · pᵏ · (1−p)ᴺ⁻ᵏ’dir. Büyük sayılar yasası, N büyüdükçe p̂’nin p’ye yakınsadığını söyler; yani frekans, olasılığın giderek iyileşen bir tahminidir. Histogramı nasıl üretip okuyacağın, Ölçüm Histogramları dersinde ayrıntılarıyla işlenen bir konudur.

Standart Hata: Sonuç ± Kaç?

Sayım k, ortalaması N·p olan bir binom değişkenidir; standart sapması σₖ = √(N·p·(1−p)) formülüyledir. Sayımı N’e bölersek frekansın standart hatasını buluruz: σ = √(p·(1−p)/N). Bell örneğimizde p = 0,5 ve N = 1024 için σₖ = √(1024 · 0,25) = 16’dır; yani beklenen sayım 512 ± 16’dır. Pratikte ±3σ bandı kullanılır: 3 · 16 = 48; “00” sayımı 464 ile 560 arasında çıkarsa sonuç teoriyle uyumlu sayılır.

Bu formül iki davranışı da açıklar. Birincisi, hata 1/√N ile küçülür: shot sayısını 4 katına çıkarırsan hata yarıya iner; 100 kat iyileşme için 10.000 kat shot gerekir. İkincisi, sapmayı standartlaştırmak karar vermeyi kolaylaştırır: z-skoru z = (k − N·p)/σₖ ile hesaplanır. 570 saydıysan z = (570 − 512)/16 ≈ 3,6 çıkar; bu, rastgele örneklemeyle görülmesi çok zor bir sapmadır ve devrede ya da hesapta bir sorun olabileceğine işarettir. 490 saydıysan z ≈ −1,4’tür; bu sıradan bir dalgalanmadır.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

• Tek shota anlam yüklemek. Tek sonucun olasılıkla ilgisi yoktur; yargı ancak toplu frekanslarla verilir.
• Frekansı olasılık sanmak. “0,504 çıktı, öyleyse olasılık 0,504” demek örnekleme hatasını yok saymaktır; sonucu 0,504 ± 0,016 gibi bir belirsizlikle raporla.
• “Daha çok shot her şeyi düzeltir” yanılgısı. Shot artışı yalnızca rastgele örnekleme hatasını azaltır. Kapı hataları gibi sistematik kaynaklar her çalıştırmada aynı yönde sapma üretir ve sonsuz shotla bile gitmez; bu ayrım Gürültü Modelleri dersinin konusudur.
• 50/50 görmeyi dolanıklık kanıtı saymak. |Φ⁺⟩ gerçekten 00 ve 11’i 50/50 dağıtır; ama dolanıklıktan yoksun bir karışım da aynı histogramı verebilir. Dolanıklık iddiası için farklı ölçüm bazlarında ek test gerekir.
• Farklı koşulların çıktılarını aynı eleğe sokmak. Farklı shot sayısıyla ya da farklı cihazla alınan sonuçlar aynı z eşiğiyle karşılaştırılmaz; cihaz kavramı için Backend ve Cihaz Kavramı dersine bakabilirsin.

Bu araçlarla gerçek donanımda ölçtüğünde tabloya bir gürültü katmanı daha eklenir; sapmaların hangisinin istatistiksel, hangisinin cihaz kaynaklı olduğunu ayırt etmek için Gerçek Kuantum Donanımında Çalıştırma dersiyle devam et. Ölçütleri baştan belirleyip deneyi ona göre kurgulamak ise Kuantum Deneyi Tasarımı dersinin ana konusudur. Sonraki ünitede ilk kuantum algoritmalarına adım atacaksın; Deutsch Algoritması dersi, burada öğrendiğin istatistiksel okuma alışkanlığını her adımda kullanacak.

Kaynaklar ve İleri Okuma

Born rule (Wikipedia) — Ölçüm olasılıklarının genliklerin karelerinden nasıl geldiğinin resmi tanımı.

Binom dağılımı (Vikipedi) — Shot sayımlarının hangi olasılık dağılımına uyduğunu anlatan Türkçe madde.

Standard error (Wikipedia) — Standart hata kavramı ile 1/√N küçülme kuralının tanımı.

IBM Quantum Learning — Kuantum programlama ve sonuç analizi konularında ücretsiz resmi ders kitabı.

IBM Quantum Platform Dokümantasyonu — Shot sayısı, ölçüm ve sonuç (counts) nesnesi için resmi Qiskit başvuru dokümanı.