Statevector Simülasyonu

Simülatör, kuantum programcının laboratuvarıdır: çipe girmeden önce devrenin ne yaptığını görmenin yolu, onu klasik bir bilgisayarda hesaplamaktır. Bu derste en temel yöntem olan statevector (durum vektörü) simülasyonunu sıfırdan öğreneceksin: durum vektörü nasıl yazılır, kapılar onu nasıl değiştirir, bellek neden üstel büyür ve ölçüm olasılıkları nereden çıkar. Simülatörlerin genel haritası Kuantum Simülatörleri dersinde; serinin tamamı Kuantum Hesaplama dersleri sayfasında.

Statevector Nedir?

Statevector, kuantum durumunun sütun vektör olarak yazılmasıdır. Tek kübit için durum α|0⟩ + β|1⟩ ise statevector iki bileşenlidir: (α, β). α ve β'ya genlik (amplitüd) denir; kural gereği |α|² + |β|² = 1'dir ve ölçümde 0'ı görme olasılığı |α|², 1'i görme olasılığı |β|²'dir. Klasik bit yalnız iki değerden birini tutabildiği için bu vektör işin kalbidir: bilgisayarın durum hakkında bildiği her şey tek sütunda yaşar.

Çok kübitli durumlar aynı mantıkla ama çok daha hızlı büyüyerek yazılır: n kübit için statevector 2ⁿ bileşenlidir ve her bileşen, 00…0'dan 11…1'e kadar olası bit dizilerinden birine karşılık gelir. İki kübit için ψ = a|00⟩ + b|01⟩ + c|10⟩ + d|11⟩ ve vektör (a, b, c, d)'dir; normalizasyon bu kez tüm bileşenler üzerinden Σ|genlik|² = 1 biçiminde yazılır. Tek tek kübitlerin durumlarından ortak durum kurarken tensör çarpımı ⊗ kullanılır: |0⟩ ⊗ |0⟩ = |00⟩. Dirac'ın ⟨φ| biçimindeki bra gösterimi satır vektör tarafıdır; ⟨φ|ψ⟩ iç çarpımı iki durumun örtüşmesini ölçer.

Kapılar Matris Çarpımıdır: Adım Adım Bir Hesap

Statevector simülasyonunda her kapı, duruma soldan çarpılan bir üniteryen matristir. Tek kübit kapıları 2×2'dir: X (Pauli σₓ) = [[0, 1], [1, 0]] biti çevirir; H (Hadamard) = (1/√2)·[[1, 1], [1, −1]] süperpozisyon kurar: H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2, yani vektör (1/√2, 1/√2) ve her iki sonuç 1/2 olasılıklıdır. Üniteryenlik koşulu U†U = I uzunluğu korur: kapılar zincirini uygulasan da Σ|genlik|² = 1 bozulmaz — olasılık korunumunun cebirsel karşılığı.

Bell (örtüşme) durumunu baştan sona hesaplayalım; devre ilk kübite H, sonra kontrolü ilk kübit, hedefi ikinci kübit olan bir CNOT uyguluyor. (1) Başlangıç |00⟩, vektör (1, 0, 0, 0). (2) H ilk kübite etki eder: durum (1/√2)(|00⟩ + |10⟩), vektör (1/√2, 0, 1/√2, 0). (3) CNOT, kontrol 1 iken hedefi çevirir: |10⟩ → |11⟩, durum (1/√2)(|00⟩ + |11⟩), vektör (1/√2, 0, 0, 1/√2). Her adımda bileşenlerin karelerinin toplamı 1'dir; ölçümde ise yalnız iki sonuç görünür: 1/2 olasılıkla 00, 1/2 olasılıkla 11. Simülatörün yaptığı iş tam olarak budur: kapıları sırayla okuyup her birinin matrisini duruma çarpmak. Devre söz dizimini Kuantum Devresi Yazımı, gerçek kod dökümünü ise Qiskit ile Tanışma dersinde bulursun.

Bellek Duvarı: Kübit Sayısı Neden Sınır?

Statevector simülasyonunun bedeli, 2ⁿ bileşenli vektörü bellekte tutmaktır. Tipik simülatörler her genliği iki adet 8 baytlık kayan nokta sayısıyla, yani 16 baytta saklar; bellek ihtiyacı kabaca 16 × 2ⁿ bayttır. Büyüme şöyle ilerler:

• 10 kübit: 2¹⁰ = 1024 genlik ≈ 16 KB — her yerde rahat çalışır.
• 20 kübit: 2²⁰ ≈ 1 milyon genlik ≈ 16 MB — masaüstünde sorun yok.
• 30 kübit: 2³⁰ ≈ 1 milyar genlik ≈ 16 GB — güçlü bir makine ister.
• 40 kübit: 2⁴⁰ ≈ 1 trilyon genlik ≈ 16 TB — tek makinenin RAM'ini aşar.

Bu yüzden 30 kübit civarı, tek makinede tam statevector simülasyonunun pratik sınırı kabul edilir; sınırı aşmak için devrenin yapısından yararlanan tensör ağları ve stabilizör simülasyonu gibi yöntemler devreye girer. Maliyet yalnız bellek değildir: her kapı 2ⁿ bileşenin tamamına dokunmak zorunda olduğundan işlem süresi de kapı sayısı × 2ⁿ düzeyinde büyür.

Ölçüm: Olasılıkların Doğduğu Yer

Statevector simülasyonunun en zarif yanı, ölçümü tam değerde vermesidir: her genliğin karesi olasılık olduğundan tüm dağılımı bir anda raporlar; Bell örneğinde 00 için tam %50. Shot yönetiminde ise devre binlerce kez çalıştırılıp sonuç sayılır; kıyası Shot Tabanlı Simülasyon dersinde. Devrenin ortasında ölçüm yapıp klasik karar verilmesi gerekiyorsa — bir önceki ünitedeki Klasik Kontrol desenleri — dalga ölçümde çöktüğü için devreyi tek bir statevector ilerlemesiyle taklit edemezsin: her koşul dalı ayrı çalıştırılır.

Dağılımdan sonuç kümesine giden yol standarttır: simülatör bit dizilerini sayar, sana bir sözlük döndürür; görselleştirme Ölçüm Histogramları dersinin konusudur. ⟨φ|ψ⟩ örtüşme değeri de simülatörde doğrudan hesaplanır: algoritmaların hedefe ne kadar yaklaştığını söyleyen sayı budur.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

• Kübit sırasını karıştırmak: Qiskit gibi kitaplıklar bit dizisini little-endian yazar; "01" çıktısında sağdaki kübit en küçük sıralıdır ve q₀ = 1 demektir. Diyagramla çıktı "ters" görünüyorsa önce bunu düşün.
• Elle müdahaleden sonra normalizasyonu atlamak: Genlikleri elle değiştirdiğinde Σ|genlik|² = 1 bozulursa olasılıkların toplamı 1'i geçer veya eksik kalır; bazı kitaplıklar hata verir, bazıları sessizce yanlışlık üretir. Müdahaleden sonra mutlaka yeniden normalize et.
• Kapı sırasını tersten çarpmak: Devre önce A sonra B uyguluyorsa toplam matris BA'dır; önce uygulanan kapı, durumun sağındaki çarpandır.
• Küresel fazı fiziksel sanmak: e^(iφ)|ψ⟩ ile |ψ⟩ aynı fiziksel durumdur; tüm genlikleri aynı açıyla döndürmek ölçümde hiçbir şeyi değiştirmez. Ölçüme giren şey göreli fazlardır; simülatörün faz referansını karışıklık sanma.
• Simülasyon çıktısını gerçek çipin çıktısı sanmak: İdeal statevector simülasyonu gürültüsüz, mükemmel kapılarla hesaplar; gerçek donanımda kapı, dekoherans ve okuma hataları dağılımı bozar. Aradaki farkı incelemek Gürültü Modelleri dersinin işidir.

Bu derste devrenin matematiksel kalbini gördün: her kuantum programı, statevector üstünde bir üniteryen matris çarpımları zinciridir. Sonraki ünite bu zemini kullanacak: Deutsch Algoritması dersinde tek sorguda bir fonksiyonun özelliğini söyleyen ilk kuantum algoritmasını, buradaki vektör-ve-kapı diliyle hesaplayacağız.

Kaynaklar ve İleri Okuma

Quantum state — Wikipedia — Kuantum durumunun vektör temsilini ve ölçümle ilişkisini anlatan genel madde.

Bra–ket notation — Wikipedia — |ψ⟩ ve ⟨φ| gösteriminin matematiksel kökeni ve kuralları.

Tensor product — Wikipedia — Çok kübitli durumların kurulmasında kullanılan tensör (Kronecker) çarpımı.

Exact and noisy simulation with Qiskit Aer primitives — IBM Quantum Documentation — Qiskit Aer ile tam (statevector) ve gürültülü simülasyonun resmî rehberi.