Fredkin Kapısı

Fredkin kapısı üç kübitliktir: ilk kübit kontrol gibi bakar, ikinci ve üçüncü kübitin yer değiştirip değişmeyeceğine karar verir. Kontrol |1⟩ iken iki hedef kübiti takas eder, |0⟩ iken hiçbir şeye dokunmaz; bu yüzden CSWAP (kontrollü SWAP) adıyla da anılır. Serinin tamamı Kuantum Hesaplama dersleri sayfasında; takasın temeli SWAP Kapısı, kontrol fikri ise Kontrollü Kapılar dersinde.

Fredkin Kapısı Nedir? Koşullu Takas Mantığı

Kübit sıralamasını |c, a, b⟩ biçiminde yazalım: soldaki kübit kontrol (c), diğer ikisi hedef (a ve b). Tanım iki satırlık bir kuraldır:

• c = 0 ise kapı hiçbir şey yapmaz: |c, a, b⟩ → |c, a, b⟩.
• c = 1 ise iki hedef yer değiştirir: |c, a, b⟩ → |c, b, a⟩.

Sekiz temel durum üstünde yazınca doğruluk tablosu çıkar; tablo bir permütasyondur: bilgi yok olmaz, üretilmez, yalnızca yerler değişir.

• c = 0 satırları: |000⟩ → |000⟩, |001⟩ → |001⟩, |010⟩ → |010⟩, |011⟩ → |011⟩ — dördü de değişmez.
• c = 1 satırları: |100⟩ → |100⟩ ve |111⟩ → |111⟩ (hedefler aynı); asıl etki |101⟩ → |110⟩ ve |110⟩ → |101⟩.

Cebirsel hâli de kullanışlıdır: a′ = a ⊕ c·(a ⊕ b) ve b′ = b ⊕ c·(a ⊕ b). c = 1 iken her iki hedef a ⊕ b ile XOR'lanır ve sonuç takastır (a′ = b, b′ = a); c = 0 iken formül kimlik verir. Kapının ender bir özelliği: korunumludur (conservative) — çıktıdaki 1'lerin sayısı giriştekiyle her zaman aynıdır. Edward Fredkin ile Tommaso Toffoli, 1982 tarihli “Conservative Logic” makalesinde bu özelliği hesaplamanın bir ilkesi hâline getirdi.

Matris Gösterimi: Üniteryenlik ve Tersinirlik

Matrisini şöyle kurarsın: 8×8 birim matrisi al, yalnızca |101⟩ ile |110⟩ bileşenlerinin yerini değiştir; |111⟩ dahil kalan her temel durum sabittir. Her satır ve sütunda tam bir tane 1 olduğu için bu bir permütasyon matrisidir ve permütasyon matrisleri ek koşulsuz üniteryendir. Buradan okunan özellikler:

• Kendi tersidir: F·F = I; iki kez uygulamak hiç uygulamamakla aynıdır. Matris gerçek ve simetrik olduğundan F = F†.
• Özdeğerleri yalnızca +1 ve −1'dir: +1 özuzayı yedi boyutludur (altı sabit temel durum artı (|101⟩ + |110⟩)/√2); −1'in özvektörü (|101⟩ − |110⟩)/√2'dir. Determinant −1'dir; kapı tek bir ikili yer değiştirme yapar.
• Normu ve 1'lerin sayısını korur: olasılık toplamı her hâlde 1'dir; her temel durumda 1 olan kübit sayısı da değişmez. Toffoli'de bu koruma yoktur: Toffoli |110⟩'yu |111⟩'ye çevirirken 1 sayısını artırır.

Süperpozisyonda Adım Adım: Tek Kapıyla Dolanıklık

Fredkin'in kuantum tarafındaki önemi süperpozisyonda çıkar; kontrolü süperpozisyona, hedefleri farklı bitlere koyup hesabı adım adım yapalım.

1. Girdi: |ψ₀⟩ = ((|0⟩ + |1⟩)/√2) ⊗ |0⟩ ⊗ |1⟩. Dağıtınca |ψ₀⟩ = (|0,0,1⟩ + |1,0,1⟩)/√2.
2. Kapıyı terim terim uygula: ilk terimde c = 0; kapı dokunmaz, |0,0,1⟩ kalır. İkinci terimde c = 1; hedefler (0, 1) iken (1, 0) olur: |1,1,0⟩.
3. Çıktı: |ψ₁⟩ = (|0,0,1⟩ + |1,1,0⟩)/√2. Norm korunmuştur: ½ + ½ = 1.

Kritik soru: |ψ₁⟩ hâlâ üç kübün ürünü mü? Değil. Kontrolü tek başına ölçersen %50 olasılıkla 0 görür ve hedefler |0,1⟩ çıkar; %50 ile 1 görür ve hedefler |1,0⟩ çıkar. Bu korelasyon (α|0⟩ + β|1⟩) ⊗ |φ⟩ biçiminde bir ürün durumuna yazılamaz; yani dolanıksız başlayan üç kübit tek bir Fredkin ile dolanık hâle geldi. Kontrol hedeflere kopyalanmadı; no-cloning ilkesi burada da geçerli. Ölçmeden devam edersen dolanıklık korunur; ölçüp sonra koşullu işlem yapmak Klasik Kontrol tekniğinin işidir.

Fredkin'i Diğer Kapılarla Kurmak ve Kullanım Alanları

Üç Toffoli ile Ayrıştırma

Fredkin, bilinen kapılarla kurulabilir; en şeffaf ayrıştırma üç Toffoli kullanır (tanım için Toffoli Kapısı dersine bak). Sıralama: birinci Toffoli'nin kontrolcüleri c ve a, hedefi b; ikincininki c ve b, hedefi a; üçüncünün yine c ve a, hedefi b — hedefler kısaca b, a, b sırasıyla değişir. Doğrulaması iki satırlık:

• c = 0 iken üç Toffoli de kapalıdır; kapı kimlik gibi davranır. ✓
• c = 1 iken Toffoli'ler CNOT gibi çalışır ve (a, b) üzerinde SWAP'in üç CNOT'luk dizisi kurulur. Örnek: (c, a, b) = (1, 0, 1). Birinci kapı b ← 1 ⊕ 0 = 1; ikinci kapı a ← 0 ⊕ 1 = 1; üçüncü kapı b ← 1 ⊕ 1 = 0; sonuç (1, 1, 0) — girdi (a, b) = (0, 1) takas edildi. ✓

Bu en okunaklı ama en ekonomik ayrıştırma değil: yardımcı kübit yokken her Toffoli en az altı CNOT ister. Derleyiciler bu yüzden Fredkin'i CNOT ve tek kübitli kapılarla toplam beş iki-kübitli kapıda kuran sıkı ayrıştırmaları kullanır; dönüştürme mantığını Devre Özdeşlikleri, CNOT ayrıntılarını CNOT Kapısı derslerinde bulursun.

Nerede Kullanılır?

• Koşullu veri yönlendirme: tek kontrol kübitiyle iki kayıttan hangisinin işleme gireceğini seçmek; klasik çoklayıcının koheren ve tersinir karşılığı.
• QRAM: bucket-brigade kuantum bellek mimarisinde adres ağacının her düğümü bir Fredkin gibi davranır; sorgu ilerledikçe yalnızca seçilen dala giden takaslar açılır.
• Tersinir ve korunumlu hesaplama: klasik kapılar bilgi silerek ısı üretir; korunumlu kapılarla hiçbir bitin yok edilmediği hesaplama kurulabildiğini göstermek, “Conservative Logic” programının temel sonucudur.
• Dolanıklık üretimi ve devre tasarımı: yukarıdaki hesaptaki gibi tek kapıyla dolanıklık kurulur; devre bütününü Kuantum Devreleri, kapı seti bağlamını Evrensel Kapı Setleri derslerinde işledik.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

• “Fredkin hedefleri toplar” yanılgısı. Kapı takas kapısıdır, toplama kapısı değil; a′ = a ⊕ c·(a ⊕ b) ifadesi takasın cebirsel yazılışıdır, c = 1'de sonuç a′ = b, b′ = a'dır.
• Toffoli ile karıştırmak. İkisi de üç kübitli ve klasik tersinir hesaplama için evrenseldir; ama Toffoli hedef bitin değerini XOR'layarak değiştirir, Fredkin iki hedefin yerini değiştirir ve 1'lerin sayısını korur.
• SWAP ile karıştırmak. SWAP koşulsuzdur, Fredkin koşulludur; kontrolü sürekli |1⟩'e sabitlersen Fredkin tam olarak SWAP gibi davranır.
• “Kontrol hedeflere kopyalanır” sanmak. Kopyalanmaz; no-cloning ilkesi burada da geçerlidir. Süperpozisyonda kontrol ile hedefler arasına dolanıklık kurulur.
• Ayrıştırmada hedef sırasını şaşırmak. Üç Toffoli'nin hedefleri b, a, b sırasıyla değişir; ikinci kapının kontrolcüleri c ve b'dir (c ve a değil). Sıra bozulursa işlev bozulur.

Kaynaklar ve İleri Okuma

Fredkin gate — Wikipedia — tanım, doğruluk tablosu ve ayrıştırma özeti.

Qiskit CSwapGate dokümantasyonu — IBM Qiskit'te kapının arayüzü ve matris tanımı.

Giovannetti, Lloyd, Maccone — Architectures for a Quantum Random Access Memory (arXiv:0807.4994) — Fredkin tarzı takaslarla kurulan bucket-brigade QRAM mimarisinin özgün makalesi.

Edward Fredkin — Wikipedia — korunumlu hesaplamanın öncüsü ve kapının adını taşıyan fizikçi.