Döndürme Kapıları RX RY RZ

Kuantum Hesaplama · Bölüm 57Kuantum Hesaplama2026-09-29Ders

Kuantum kapıları ailesinde X, Y ve Z kübiti sabit birer adımda çevirir; döndürme kapıları RX, RY ve RZ ise bu işlemin açısını senin seçimine bırakır. Bu derste üç kapının matrislerini, |0⟩ ve |1⟩ üzerindeki etkilerini ve Bloch küresindeki geometrik karşılıklarını örnek bir hesapla birlikte göreceksin. X, Y, Z kapılarının ayrıntısını henüz görmediysen önce Pauli Kapıları X Y Z dersine göz atman iyi olur; serinin tamamı için Kuantum Hesaplama dersleri sayfasına bakabilirsin.

Döndürme Kapıları Nedir?

Döndürme kapıları, Pauli matrislerinin üstelinden üretilir: R_x(θ) = e^(−iθX/2), R_y(θ) = e^(−iθY/2) ve R_z(θ) = e^(−iθZ/2). Burada θ radyan cinsinden gerçek ve sürekli bir açıdır; döndürme kapılarını Pauli kapılarından ayıran fark tam olarak bu sürekliliktir. Üstel ifade göz korkutucu görünse de herhangi bir Pauli matrisi P için P² = I olduğundan sonuç iki terime iner: e^(−iθP/2) = cos(θ/2)·I − i·sin(θ/2)·P. Bu tek formülle üç kapının matrisini de elle yazabilirsin.

Bu kapılar üniteryendir: cos²(θ/2) + sin²(θ/2) = 1 olduğu için U†U = I her zaman sağlanır ve olasılıklar korunur. Geometrik anlamı Bloch küresinde netleşir: |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)·sin(θ/2)|1⟩ durumunu küre üzerinde bir ok gibi düşünürsen, RX, RY ve RZ bu oku sırasıyla x, y ve z eksenleri etrafında θ kadar döndürür. Gerçek işlemcilerin kapı kütüphanelerinde (örneğin Qiskit'te) x, y, z yerine rx, ry, rz'nin öne çıkması da bundandır: açısı ayarlanabilir tek bir kapı, sonsuz sayıda sabit kapının işini görebilir.

RX ve RY: Genlikleri Döndürmek

RX kapısının matrisinde cos(θ/2) köşegen üzerinde, −i·sin(θ/2) ise diğer iki köşededir: R_x(θ) = [[cos(θ/2), −i·sin(θ/2)], [−i·sin(θ/2), cos(θ/2)]]. |0⟩'ya uygulandığında cos(θ/2)|0⟩ − i·sin(θ/2)|1⟩ durumunu verir; ölçüm olasılıkları cos²(θ/2) ve sin²(θ/2)'dir. Özel durumlar öğreticidir: θ = π için sonuç −i|1⟩ çıkar; −i gözle görülmeyen bir global evre olduğundan bu pratikte X kapısının yaptığıdır. θ = π/2 için ise fazlı bir 50–50 süperpozisyon elde edersin.

RY kapısı aynı işi hayali i olmadan yapar: R_y(θ) = [[cos(θ/2), −sin(θ/2)], [sin(θ/2), cos(θ/2)]] tamamen gerçek sayılı bir matristir. |0⟩'ya uygulandığında cos(θ/2)|0⟩ + sin(θ/2)|1⟩ verir; faz yoktur, yalnız genlik vardır ve R_y(π)|0⟩ = |1⟩ tam olarak, hiç faz eklemeden gerçekleşir. Bir özdeşlik de Hadamard'ı bağlar: önce Z, sonra R_y(π/2) uygularsan matris çarpımı tam olarak H çıkar, yani H = R_y(π/2)·Z. Bu tür kimliklerin sistematik kullanımını Devre Özdeşlikleri dersinde, Hadamard'ın kendisini ise Hadamard Kapısı dersinde işliyoruz.

Dikkat çekici bir nokta: RX ve RY, |0⟩'ya uygulandığında aynı ölçüm olasılıklarını üretir; fark yalnızca fazlardadır (RX'de −i çarpanları vardır). Bu yüzden ikisini ayırt etmek için tek ölçüm yetmez; fazların interferansa sokulması gerekir. Genliklerin doğrudan önemli olduğu durum hazırlama işlerinde RY tercih edilir; tam da bu yüzden parametrik devrelerde en sık göreceğin kapı ry'dir.

RZ: Faz Döndürmek

RZ kapısı köşegen bir matristir: R_z(θ) = [[e^(−iθ/2), 0], [0, e^(iθ/2)]]. |0⟩ bileşenini e^(−iθ/2) ile, |1⟩ bileşenini e^(iθ/2) ile çarpar; aralarındaki orana e^(iθ) fazı ekler. Kritik sonuç şu: RZ, |0⟩ ve |1⟩'in ölçüm olasılıklarını hiç değiştirmez. |0⟩ durumundaki bir kübite RZ uygulamak ölçüm sonucunu bozmaz; kapının tek işi, daha önce var olmuş bir süperpozisyonun iki kolunun birbirine göre fazını döndürmek ve bunu ileride interferans yaşanacak noktada görünür kılmaktır.

Fazın görünmesi için kolların yeniden birleşmesi gerekir; klasik örnek H·R_z(φ)·H dizisidir. HZH = X özdeşliğinden hareketle bu dizinin R_x(φ)'ye eşit olduğunu göstermek zor değildir: Hadamard çifti, z ekseni etrafındaki dönüşü x eksenine taşır ve faz bilgisi genlik farkına dönüşür. RZ'nin akrabalarını da tanıyorsun: global bir evreye kadar S kapısı R_z(π/2)'ye, T kapısı R_z(π/4)'e denktir. Faz kapılarının bütünüyle ilişkisini Faz Kapıları ve S ve T Kapıları derslerinde ayrı ayrı inceledik.

Adım Adım Bir Hesap: RY ile Durum Hazırlama

Hedef şu olsun: |0⟩'dan başlayıp ölçüldüğünde %75 olasılıkla 0, %25 olasılıkla 1 veren bir durum hazırlamak. Tek bir RY kapısı yeter:

cos²(θ/2) = 3/4 koşulundan cos(θ/2) = √3/2 çıkar; θ/2 = π/6, dolayısıyla θ = π/3.
R_y(π/3) matrisinin girdilerini yaz: cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2; matris [[√3/2, −1/2], [1/2, √3/2]] olur.
|0⟩ vektörü (1, 0) olduğundan çarpım (√3/2, 1/2) verir: ψ = (√3/2)|0⟩ + (1/2)|1⟩.
Normalize kontrolü: (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1 ✓. Ölçümde P(0) = 3/4, P(1) = 1/4.

Devamı da öğretici: aynı duruma R_x(π) uygularsan −i·X ile çarpmış olursun; X genliklerin yerini değiştirdiği için olasılıklar 1/4–3/4'e takas olur. Ayrıca aynı eksendeki dönüşler toplanır: R_y(α)·R_y(β) = R_y(α+β). Üst üste dizilmiş RY kapılarını tek kapıya indirmek, Kuantum Devreleri dersinde göreceğimiz sadeleştirme oyunlarından biridir.

Sık Yapılan Hatalar ve Yanılgılar

Yarı açıyı unutmak: Olasılıklar cos²(θ/2)'den gelir. R_y(π) uygulayan biri “yarım tur, 50–50” bekler; oysa sonuç tam |1⟩'dir. 50–50 için θ = π/2 gerekir.
R(2π) = I sanmak: R_x(2π) = −I olur; −I global evre olduğundan fiziksel durum aynıdır ama matris birim matris değildir. Kübitin birebir başına dönmesi için 4π gerekir.
RZ'nin olasılık değiştirdiğini sanmak: RZ tek başına ölçüm istatistiğini değiştirmez; etkisi ancak süperpozisyonun kolları interferansla birleşince ortaya çıkar.
Farklı eksenlerin dönüşlerini toplamak: R_y(α)·R_y(β) = R_y(α+β) doğrudur ama R_x(α)·R_z(β) ≠ R_z(β)·R_x(α). Farklı eksenlerdeki dönüşler yer değiştirmez; sıra değişince sonuç değişir.
Global evreyi fiziksel sanmak: R_x(π)|0⟩ = −i|1⟩ sonucundaki −i ölçülebilir değildir; durum fiziksel olarak |1⟩'dir. Ama matrisleri elle çarparken global evreyi kaydedersen kendi kendine tutarsızlık üretirsin.

Son bir bağlantı: tek kübitlik bu döndürmeler, CNOT gibi iki kübitlik bir kapıyla birleşince evrensel hâle gelir; yani her üniteryen işlem yeterli sayıda RX/RY/RZ ve CNOT ile yaklaşık olarak kurulabilir. Bunun anlamı ve kanıt fikri için Evrensel Kapı Setleri dersine bakabilirsin.

Sık Sorulan Sorular

RX, RY ve RZ kapıları nedir?

Tek bir kübiti seçtiğin eksen etrafında istediğin açı kadar döndüren parametrik kapılardır: R_x(θ) = e^(−iθX/2), R_y(θ) = e^(−iθY/2), R_z(θ) = e^(−iθZ/2). θ radyan cinsinden sürekli bir açıdır; açı sabitlenince Pauli kapıları (θ = π) ya da S ve T (z ekseninde π/2 ve π/4) gibi tanıdık kapılar elde edilir.

Döndürme kapıları ile Pauli kapıları arasındaki fark nedir?

Pauli kapıları, döndürmelerin açısı sabitlenmiş özel durumlarıdır: global evreye kadar X = i·R_x(π), Y = i·R_y(π), Z = i·R_z(π). Döndürme kapılarında ise θ sürekli değişebilir; bu yüzden durum hazırlama ve parametrik (eğitilebilir) devrelerde döndürme kapıları kullanılır.

RZ kapısı ne işe yarar, ölçüm sonucunu değiştirir mi?

Hayır. RZ, |0⟩ ve |1⟩ ölçüm olasılıklarına dokunmaz; yalnızca iki bileşen arasındaki göreli fazı θ kadar döndürür. Tek başına uygulandığında ölçüm istatistiği aynı kalır; etkisi, Hadamard gibi kapılarla kollar interferansa sokulduğunda görünür hâle gelir.

Döndürme kapılarında neden yarı açı θ/2 kullanılır?

Çünkü durum vektörünün küre üzerindeki eğimi θ iken bileşen genlikleri cos(θ/2) ve sin(θ/2) olur; ölçüm olasılıkları cos²(θ/2) ve sin²(θ/2)'dir. Aynı nedenle matrisin özdeğerleri e^(±iθ/2)'dir: kapı 2π'de −I'ya ulaşır, birim matrise dönmesi için 4π gerekir.

Kaynaklar ve İleri Okuma

Quantum logic gate — Wikipedia — RX, RY ve RZ dâhil temel kuantum kapılarının matrislerini ve özelliklerini özetleyen genel başvuru maddesi.

Bloch sphere — Wikipedia — kübit durumunun küre üzerindeki gösterimi ve döndürme kapılarının geometrik yorumu için.

Elementary gates for quantum computation — arXiv:quant-ph/9503016 — tek kübitlik döndürmelerin evrensel kapı setlerindeki rolünü kuran klasik makalenin özet sayfası.

IBM Quantum Learning — kübitler, kapılar ve devreler üzerine adım adım ilerleyen resmî ücretsiz ders serileri.